Samenvatting rekenen
inleiding
Absolute gegevens: zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of
aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens: zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het
daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen. Bijvoorbeeld 1 op de 4 studenten is
man. Om dat te berekenen heb je absolute
gegevens nodig.
Strookmodel: Bij het strookmodel staan zowel
relatieve gegevens (percentage) als de absolute
gegevens (aantal).
Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In
betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De
notatie verschilt echter: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op
breuken.
Declaratieve kennis: feitenkennis, zoals ½ = 5/10 = 0.5 = 1:2 = 50%
Hoofdstuk 2: verhoudingen
Verhoudingen zijn overal
2.1.1 evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer
getalsmatige of meetkundige beschrijvingen. Bijvoorbeeld de verhouding tussen
het aantal jongens en het aantal meisjes op de pabo. Een evenredig verband
betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, het andere
getal (of de andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt.
Naar rato stijgen betekent niks anders dan naar verhouding. (Hoor je veel bij de
slager, bakker, etc.)
Verschijningsvormen van verhoudingen:
- Sterkte van koffie (of zoetheid van ranja, sterkte alcoholische dranken)
- Recepten (voor 4 personen omgerekend naar 6 personen)
- Snelheid
- Bevolkingsdichtheid
- Etc.
Snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden. Snelheid kun je bijv.
uitdrukken in het aantal afgelegde kilometers per uur (km/u). Die km/u is
samengesteld uit de grootheid lengte, de maateenheid kilometer, en de
grootheid tijd, met de maat uur.
Schaal is ook een veelvoorkomende verhouding. 1 : 80 000 betekent niks anders
dan 1 cm op de kaart is 80 000 cm in werkelijkheid (800 meter). Bij schaal
moeten de beide getallen dezelfde maateenheid hebben.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om
de aandacht te trekken. Dit kom je bijvoorbeeld tegen in reclame, cartoons en
kunst.
,Kwantitatieve verhoudingen worden uitgedrukt in getallen.
Kwalitatieve verhoudingen komt er geen getal aan te pas. Ze worden
uitgedrukt in woorden: groot, lang, oud, kort, etc.
Als een verhouding één grootheid of eenheid betreft, spreek je van een interne
verhouding. Voorbeelden: de spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht, 1 op de
4 pabostudenten is een jongen, etc.
Een externe verhouding betreft twee verschillende grootheden. Voorbeelden
hiervan zijn afgelegde afstand in een bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Bij delen kan een onderscheid worden gemaakt tussen verhoudingsdelen en
verdelingsdelen:
Verhoudingsdelen: deeltal en deler representeren hetzelfde. 12:4=3 (interne
verhouding)
Verdelingsdelen: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel snoepjes krijgt elk
kind? Hier representeren deeltal en deler elk iets anders. (externe verhouding)
Lineair verband heeft een rechte lijn.
2.1.2 Niet evenredige verbanden
Break-evenpoint een kruispunt in een lijngrafiek van bijv. abonnementen. Waar
de kosten hetzelfde zijn.
2.1.3 bijzondere verhoudingen
Gulden snede de mooiste verhouding die er bestaat. Verhouding die sinds de
zeventiende eeuw staat voor een schoonheidsideaal. Het is een rechthoek
waarvan de korte en de lange zijde zich verhouden als de gulden snede.
Pi = 3,141 (22/7)
Rationale getallen zijn wat we in onze taal aanduiden met breuken. Kenmerk
van deze getallen is dat, wanneer ze decimaal geschreven worden, de decimalen
op een bepaald moment stoppen.
Irrationale getallen zijn de getallen waar de decimalen nooit van stoppen,
zoals pi.
2.2 verhoudingen op de basisschool
2.2.1 schets van de leerlijn verhoudingen
Groep 1 – 2 kwalitatieve verhoudingen
Informeel handelend en Vanaf groep 3 kwantificeren van
redeneren verhoudingen
modelondersteund redeneren Vanaf groep 4 eenvoudige contexten met
en vermenigvuldigen en delen
rekenen in contextsituaties
Vanaf groep 5 complexere contexten en
getallen
modelondersteund en Vanaf groep 6 relatie met breuken
formeel redeneren en Vanaf groep 7 procenten
rekenen
Informeel handelen en redeneren
Kwalitatieve verhoudingen: zichtbare verschillen in grootte, afstand en
dergelijke, waar nog geen getal aan te pas hoeft te komen, bijvoorbeeld
lichaamsmaten.
, Verhoudingen worden gekwantificeerd: er wordt een getal aan toegekend.
Modelondersteund redeneren en rekenen in contextsituaties
Het gaat hier alleen om vermenigvuldigopgaven met eenvoudige getallen,
overeenkomend met het leren van de tafels van vermenigvuldiging.
Verhoudingen worden aangeboden in een betekenisvol perspectief. Dit betekent
dat toepassingssituaties met verhoudingen die in het echte leven voorkomen als
context worden gebruikt.
Modelondersteund en formeel redeneren en rekenen
Verhoudingen worden t/m groep 8 in toepassingssituaties aangeboden. Dat wil
niet zeggen dat er sprake is van contextgebonden handelen. Toepassingssituaties
kunnen ook verhoudingstabellen, werken met schaal, dubbele getallenlijn, etc.
zijn.
2.2.2 modellen bij verhoudingen
Dubbele getallenlijn: hierop
wordt het verband tussen twee
zaken zichtbaar gemaakt. Bijvoorbeeld
tussen grootheden tijd en afstand bij
een (constante) snelheid.
De dubbele getallenlijn is een denkmodel: het ondersteunt het denken doordat
het zichtbaar is welke bewerking moet worden uitgevoerd. Wat met de ene
grootheid gebeurd, moet ook met het andere getal gebeuren.
De verhoudingstabel is abstracter van aard dan de dubbele getallenlijn,
doordat de onderlinge afstand tussen de getallenparen niet meer wordt
gerepresenteerd door een afstand op een stuk getallenlijn. Deze stukken lijn zijn
als het ware weggelaten en enkel de bij elkaar horende getallenparen worden
genoteerd. Verhoudingstabel is ook een denkmodel.
Kruislings vermenigvuldigen betekent dat bij gelijkwaardige breuken de teller
van de ene breuk vermenigvuldigd met de noemer van de andere breuk gelijk is
aan de noemer van de ene breuk vermenigvuldigd met de teller van de andere.
Referentiematen zijn standaardmaten, zoals een mens is 2 meter, een pas is 1
meter.
2.2.3 redeneren en rekenen met verhoudingen
Snelheid is een samengestelde grootheid. Snelheid is een verhouding tussen de
grootheden afstand en tijd.
Hoofdstuk 3 procenten
3.1 procenten kom je veel tegen
3.1.1 verschijningsvormen in de realiteit
Inflatie: geld wordt minder waard, waardoor de prijzen stijgen.
Je mag percentages alleen bij elkaar optellen als het percentages zijn van
hetzelfde geheel en elkaar bovendien uitsluiten.
3.1.2 een gestandaardiseerde verhouding
