Samenvatting
Samenvatting Linear Algebra and Its Applications, Global Edition, ISBN: 9781292092232 Linear Algebra
Samenvatting hoofdstuk 1 tm 4 en 6
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 33 pagina's
Voorbeeld 4 van de 33 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Gekoppeld boek
Titel boek:
Auteur(s):
- Uitgave:
- ISBN:
- Druk:
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
Lineaire algebra – blok 1Week 1, les 1
1.2: systems of linear equations
X1 + 2x2 = 3 standard form
Linear system:
R1 : 1 equation = line
2 equations = intersection point // parallel n.a.
R2: x=0 R2
x=1 line
x=2 point
x=3 n.a.
R3: x=0 R3
x=1 plane
x=2 line
x=3 point
x= 4 n.a.
many solutions
consistent
1 solution
inconsistent
no solutions
- Example
X1 – 2x2 = -1
-x1 + 3x2 = 3
van elkaar afhalen
x2 = 2 invullen in eerste formule voor x1
Een andere manier van noteren is in een augmented matrix (variables):
[ 1 -2 -1
-1 3 3 ]
Coefficient matrix = hetzelfde als een augmented matrix, alleen dan zonder de dingen achter het
‘’=’’-teken naam van de matrix moet/staat er altijd bij.
[ 1 -2 -1 [1 -2 -1 +2row2 [1 0 3 x1 = 3
-1 3 3 ] +row1 012 ] 012] x2 = 2
Op het moment dat er een 0 bovenaan de matrix staat, wissel deze dan om zodat er (het liefst een
1) een ander getal links bovenin staat. DUS:
1. Eliminate 1e variabel in 2 van de 3 rijen – alleen 1 e rij overhouden
2. Eliminate 2e variabel in 2 van de 3 rijen – alleen 2 e rij overhouden
3. Eliminate 3e variabel in 2 van de 3 rijen – alleen 3 e rij overhouden
,1.2: row reduction and echelon forms
Two linear equations are called equivalent if they have the same solution set.
Elementary row operations
1. Replacement: replace one row by the sum of itself and a multiple of another row
2. Interchange: interchange 2 rows
3. Scaling: multiply all entries in a row by a non-zero constant
- Row equivalent matrixes = als je de ene kan verbouwen/omschrijven tot de andere row
operations are reversible if the augmented matrixes of two linear systems are row
equivalent, then the two systems have the same solution set. SCHEMATISCH:
X X X X
O X X X
O O X X
O O O X
O O O O
Pivots ^^^^^^^^^^^^ also non-zero number
1 0 0 0 0
O 1 0 0 0
O O 1 0 0
O O O 1 0
O O O O 1
- A matrix is an echelon form if:
1. Non-zero rows above rows of all zeros
2. Each leading entry of a row is in a column tot the right of the leading entry of the row above it.
3. All entries in the column below a leading entry are zeros.
- A matrix is a reduced echelon form if:
1. Non-zero rows above rows of all zeros
2. Each leading entry of a row is in a column to the right of the leading entry of the row above it.
3. All entries in the column below a leading entry are zeros.
4. All leading entries are 1
5. Each leading entry is the only non-zero entry in its column.
Linear system augmented matrix (by row reduction) matrix in echelon form (by row
reduction)
0 solutions: pivot in last column
1 solution: no pivot in last column
: pivots in all other columns
∞ solutions: no pivot in last column
: at least 1 other column without a pivot
Matrix in reduced echelon form (to determine solution set precisely)
- Theorem: every matrix is row equivalent to one and only one reduced echelon form. PROOF:
A matrix is row equivalent to many matrixes in echelon form but they have the same pivot position.
different pivot positions so it can’t be row equivalent.
,Week 1, les 2
1.3: vector equations
R2 has a set of points : (2,1)
R2 has a set of vectors : [21] eind van de vector = coordinaat
- Vector space: (R2, +, x) kan je doen met vector, niet met coordinaat
Definition:
U = [ab] & v = [cd]
u + v = [a+c b+d]
(when R2 = vector space ^^^)
u = v if a=c en b=d
o = [00] in R2 R3 [000] etc. zero vector
e1 = [10] e2 = [01] in R2 unit vector
1 – [11]
- Algebraic properties of (Rn, +, x)
1. U+v=v+u
2. (u + v) + w = u +(v + w)
3. U+0=u
4. U + (-u) = 0
5. C (u + v) = cu + cv
6. (c+d)u = cu + du
7. C(du) = (cd)u
8. 1u = u
Given vectors v1 and v2, Vp e Rn we can make other vectors using addition and scalar
multiplication. We get vectors y of the form:
Y = c1v1 + … + cpvp for certain C’s
Y is called a linear combination of v1 … vp with weights c1…cp
- Definition
Given vectors v1…vp
Span {v1, v2, v3} = {c1v1 + cpvp}
All linear combinations
Span {[2 1 ]} – all vectors on the line through 0 and [2 1 ]
Span {[ 2 1 ] [ 1 2 ]} = R2
R3 = span {e1, e2, e3}
Span {o} = {o}
Span o doorgehaald = {o}
, 1.4: the matrix equation
- Definition
Let A ben a mxn matrix (m = boven naar beneden). N columns from Rm
Let x =[x1 … xn]
Ax = [a1, a2, an] [x1, x2, xn] same size!
Ax = b has a solution x b e span {a1, a2, an} system with an augmented matrix [a1, a2, anb]
has a solution.
- Algebraic properties
1. A(u + v) = Au + Av
2. A(cu) = c (Au)
3. Ao = o
4. Ae1 = A [1 0] : a1
5. Ae2 = a2 etc
6. A1 = a1 + an = [row sum of row 1 of A , row sum of row n of A]
Under which condition does Ax = b have a solution for every b? A has a pivot in every row
no pivot in last column = solution
Ax = b has a solution for every b b e span {a1, an} span {a1, an} = Rm [a1, a2, anb]
echolon form
- Equivalent are (theorem)
1. Ax = b has a solution for every b
2. Span {a1, …, an} = Rm
3. A is row equivalent with an echelon form with a pivot in every row.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper daniquevangeest. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67232 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen