College Aantekeningen/Samenvatting
Statistiek 1B
Oefenen https: Statkat.com
College 1 - Betrouwbaarheidsintervallen (M&M 6.1)
Statistische inferentie
Statistic: beschrijft de steekproef
- Steekproefgemiddelde 𝑥̅
- Steekproefproportie 𝑝̂
Parameter: beschrijft de populatie
- Populatiegemiddelde 𝜇
- Populatieproportie 𝑝
Statistische inferentie gebruikt statistics (steekproef) bij het nemen van beslissingen en het maken van
voorspellingen over parameters (populatie)
▪ Inferentie voor gemiddelden: Hoofdstuk 6 en 7
▪ Inferentie voor proporties: Hoofdstuk 8 en 9
Doel van statistische inferentie:
▪ Conclusies trekken, beslissingen nemen, voorspellingen maken over een populatie op basis van
steekproefresultaten
Twee belangrijke methodes:
▪ Betrouwbaarheidsintervallen - Het schatten van de waarde van een parameter – range van
mogelijke waardes van parameter
▪ Significantietoetsen - Het verkrijgen van bewijs tegen een bepaalde claim
Er is niet 1 “correcte” inferentiële methode
Verschillende aanpakken:
▪ Frequentistische aanpak: verzekert ons dat we correcte conclusies trekken voor een vast
percentage van onderzoeken, in the long run
▪ Bayesiaanse aanpak: kwantificeert bewijs in een bepaalde dataset voor een bepaalde hypothese
Statistische inferentie
• Betrouwbaarheidsintervallen & Significantietoetsen
Beide methodes gebaseerd op Sampling distributions van statistics
- Idee: Wat zou er gebeuren als we deze inferentiemethode heel vaak herhalen?
Basis: Sampling distributions
Voorwaarde hiervoor:
▪ Probability model van de data (sampling distribution)
▪ Betrouwbaar model >> properly randomized design
▪ Problematisch: voluntary response samples, confounded experiments
,Chapter 5 - Basis: Sampling Distributions
Centrale Limietstelling:
Als 𝑛 groot is, dan is de sampling distribution van het steekproefgemiddelde 𝑋̅ ongeveer normaal verdeeld:
𝜎
𝑋̅ is ongeveer 𝑁 (𝜇, )
√𝑛
▪ Dit geldt ongeacht de vorm van de populatieverdeling
▪ Voorwaarde: SRS, eindige 𝜎 en voldoende grote 𝑛
▪ Als 𝑋~𝑁 (𝜇, 𝜎) dan is 𝑋̅ exact normaal verdeeld, ook bij kleine 𝑛
Aannames Chapter 6
1. SRS uit de populatie waarin we geïnteresseerd zijn. Geen nonresponse of een ander praktisch
problemen
2. Normale populatieverdeling 𝑁 (𝜇, 𝜎)
3. Het populatiegemiddelde 𝜇 is onbekend, maar de populatiestandaarddeviatie 𝜎 is wel bekend.
Opmerkingen:
▪ Deze setting is te simpel om realistisch te zijn
▪ Later (Chapter 7) stappen we af van een aantal van deze onrealistische voorwaarden
▪ Nu eerst begrijpen wat statistische inferentie eigenlijk is
Schatten met betrouwbaarheid – Estimating with confidence
Gedachte achter betrouwbaarheid
Betrouwbaarheidsintervallen
▪ Het schatten van de waarde van een parameter
Twee soorten schatters:
▪ Puntschatter:
- een enkel getal dat onze “beste gok” is voor de parameter
▪ Intervalschatter:
- een interval van getallen dat de parameterwaarde (hopelijk) zal bevatten.
Betrouwbaarheidsinterval:
▪ Een interval dat de meest geloofwaardige waarden van een parameter bevat
▪ Betrouwbaarheidsniveau (confidence level) = de kans dat deze methode (manier van steekproeftrekking)
een interval produceert dat de parameter bevat
,Gedachte achter betrouwbaarheid
Hoeveel Netflix je, gemiddeld genomen?
▪ 𝑋 = gemiddeld aantal uur dat een random geselecteerde persoon Netflixt (dagelijks)
▪ Aanname:
- In de populatie is 𝑋 normaal verdeeld met standaarddeviatie 𝜎 = 2 uur
▪ Steekproefgrootte 𝑛 = 100
▪ Gevolg (CLS):
- Steekproefgemiddelde normaal verdeeld:
2
𝑋̅ ~𝑁 (𝜇, = 0,2)
√100
▪ Resultaat steekproef:
- Stel dat Steekproefgemiddelde 𝑥̅ = 3 (puntschatter)
- bij volgende steekproef kan je ander getal hebben, dus zit mate van onnauwkeurigheid in.
Dus als we het heel vaak doen dan hebben we het in 95 % van de gevallen goed. dan zit 𝜇 binnen het
interval. Je zegt. Met 95% betrouwbaarheid denken we dat 𝜇 ergens binnen dit interval valt.
Je zegt NIET met 95% zekerheid of 95% kans. Kans is niet gelijk aan betrouwbaarheid.
Gedachte achter betrouwbaarheid
Gedachte achter statistische inferentie:
▪ Wat zou er gebeuren op de lange duur, bij heel veel herhalingen
Twee mogelijkheden voor onze ene steekproef:
1. Het interval bevat het populatiegemiddelde 𝜇
2. Het interval bevat het populatiegemiddelde 𝜇 niet
95% betrouwbaarheid betekent:
We hebben dit interval verkregen met een methode die ons een correct resultaat geeft in
95% van de gevallen (als we het heel vaak zouden doen).
Opmerking:
▪ In dit voorbeeld: link met 68-95-99.7 regel
▪ Dit is een vuistregel en geeft geen exact resultaat
Vanaf nu: gebruik de normale verdeling om exactere grenzen te
gebruiken
▪ Tabel A – standard normal distribution
▪ 𝑍-scores in plaats van vuistregel
,Betrouwbaarheidsintervallen
Algemeen: 𝐶 BHI (betrouwbaarheidsinterval, confidence interval) voor een parameter
schatter ± margin of error
Schatter = Beste gok voor de parameterwaarde
Margin of error = Indicatie van de nauwkeurigheid van de schatter
▪ Gebaseerd op
1. variabiliteit van de schatter (via sampling distribution) en
2. betrouwbaarheid van de methode (betrouwbaarheidsniveau 𝐶)
BHI voor een populatiegemiddelde 𝜇
Algemene vorm 𝐶-BHI:
schatter ± margin of error
Schatter = beste gok voor populatiegemiddelde
▪ Steekproefgemiddelde 𝑋̅
𝜎
▪ 𝑋̅ is ongeveer 𝑁 (𝜇, ) (CLS)
√𝑛
Margin of error, bepaald door
𝜎
1. Variabiliteit: 𝜎𝑋̅ =
√𝑛
2. Betrouwbaarheid methode: 𝐶, onder de aanname van normale verdeling
,BHI voor een populatiegemiddelde
Voorbeeld 1
Populatie studenten:
▪ IQ-scores normaal verdeeld met 𝜎 = 15
SRS van 𝑛 = 10 studenten:
▪ Gemiddelde IQ in steekproef is 117
Wat is het 80% BHI voor het populatiegemiddelde?
Gegeven 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎 = 15) , 𝑛 = 10, 𝑥̅ = 117
Gevolg: 𝑋̅ is normaal verdeeld, ook nu 𝑛 zo klein is (CLS)
, BHI voor een populatiegemiddelde
Voorbeeld 2
In de populatie Nederlanders zijn de scores op een geheugentest (𝑋) rechtsscheef verdeeld met 𝜎 = 15.
In een random steekproef van 100 Nederlanders blijkt de gemiddelde score op de geheugentest 55 te zijn.
Wat is het 96% BHI voor het populatiegemiddelde?
Aanname:
Door de grote 𝑛 is steekproefgemiddelde vrijwel normaal verdeeld (CLS)
Gedrag van BHI
Gewenste eigenschappen BHIs:
▪ Hoge betrouwbaarheid
- Betekenis: Onze methode levert bijna altijd correcte antwoorden
- Keuze van onderzoeker
▪ Kleine margin of error
- Betekenis: Accurate schatting van de parameter
Hoe smaller het BHI, hoe nauwkeuriger de schatting van de parameter
Welke factoren bepalen de breedte van het BHI?
▪ Kritieke waarde 𝒛∗
- Kritieke waarde 𝑧 ∗ wordt bepaalt door de keuze van het betrouwbaarheidsniveau 𝐶
- Hoe kleiner 𝐶, hoe kleiner 𝑧 ∗ , hoe smaller het BHI
- Dit is vaak niet wat je wilt …
▪ Populatiestandaarddeviatie 𝜎
- Hoe kleiner 𝜎, hoe smaller het BHI
- Maar … 𝜎 is een kenmerk van de populatie en hier kun je (meestal) niets aan veranderen
▪ Steekproefgrootte 𝑛
- Hoe groter 𝑛, hoe kleiner 𝜎⁄ (kleinere variabiliteit), hoe smaller het BHI
√𝑛
Een kleinere margin of erro is smaller BHI
Een kleinere waarde C is smaller BHI
𝜎
𝑥̅ ± 𝑧 ∗
√𝑛
