Samenvatting
Samenvatting Vector Calculus (FEB21023)
- Instelling
- Erasmus Universiteit Rotterdam (EUR)
Uitgebreide samenvatting van Vector Calculus (econometrie EUR)
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 11 pagina's
Voorbeeld 2 van de 11 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Week 1Eigenwaarde en eigenvector
Zij A een n × n matrix. Een scalaire λ is een eigenwaarde als er een vector x bestaat,
waarvoor 𝑥 ≠ 0 en 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥. In dit geval noemen we x een eigenvector.
Checken of getal eigenwaarde is
Getal is een eigenwaarde als de nulruimte van 𝐴 − 𝜆𝐼 ten minste één vector x bevat, 𝑥 ≠ 0
Eigenruimte
Zij A een n × n matrix en λ een eigenwaarde van A. De verzameling van alle eigenvectoren
behorend bij λ, samen met de nulvector, is de eigenruimte van λ in A, en noteren we als 𝐸!
Inhoud eigenruimte
Als 𝑥 een eigenvector is, is 𝑐𝑥 ook een eigenvector
Als 𝑦 ook een eigenvector is met de eigenwaarde 𝜆 van A, dan is elke lineaire combinatie
van 𝑥 en 𝑦, 𝑧 = 𝑐" 𝑥 + 𝑐# 𝑦, ook een eigenvector behorend bij de eigenwaarde λ van A
Dus voor matrix A met eigenwaarde λ zodanig dat 𝑥" , … , 𝑥$ allen eigenvectoren zijn, geldt
dat alle lineaire combinaties van 𝑥" , … , 𝑥$ ook eigenvectoren zijn, oftewel
𝑠𝑝𝑎𝑛(𝑥" , … , 𝑥$ ) ⊆ 𝐸!
Eigenruimte bepalen voor een gegeven eigenwaarde
Zij A een matrix met eigenwaarde λ. De eigenruimte 𝐸! bevat alle vectoren x zodat
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0, oftewel de eigenruimte 𝐸! is de nulruimte van (𝐴 − 𝜆𝐼)
Eigenwaarde bepalen
Zij A een n × n matrix. De waarde λ is een eigenwaarde als ∃𝑥 ≠ 0 zodat 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥
⟹ de nulruimte van(𝐴 − 𝜆𝐼) is niet leeg
⟹ (𝐴 − 𝜆𝐼) is niet inverteerbaar
⟹ de determinant van (𝐴 − 𝜆𝐼) is gelijk aan 0
Karakteristieke polynoom
De uitdrukking 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) noemen we de karakteristieke polynoom in λ
Karakteristieke vergelijking
De vergelijking 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 noemen we de karakteristieke vergelijking in λ
Hoofdstelling van de Algebra
Elk polynoom 𝑃(𝜆) van graad n is te schrijven als product van n lineaire factoren
𝑃(𝜆) = 𝑎(𝜆 − 𝑏" )(𝜆 − 𝑏# ) … (𝜆 − 𝑏% ) met 𝑎 ≠ 0 en 𝑎 en 𝑏& complexe getallen zijn
Algebraïsche multipliciteit
De algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde 𝜆 = 𝑐 is het aantal keer dat de factor
(𝜆 − 𝑐) voorkomt in de karakteristieke polynoom
Geometrische multipliciteit
De dimensie van een eigenruimte behorend bij de eigenwaarde λ, noemen we de
geometrische multipliciteit van de eigenwaarde λ
Eigenwaarde van driehoeksmatrices
De eigenwaarden van een driehoeksmatrix zijn de diagonaalelementen
Eigenwaarde van inverteerbare matrices
Een n × n matrix A is inverteerbaar ⟺ 0 geen eigenwaarde is van A
Spoor en determinant
Zij A een n × n matrix met eigenwaarden 𝜆" , … , 𝜆% die niet noodzakelijk allemaal verschillend
zijn. Er geldt spoor(𝐴) = ∑%&'" 𝜆& en det(𝐴) = ∏%&'" 𝜆&
Eigenwaarden van machten van matrices
Zij A een n × n matrix met eigenwaarde λ en bijbehorende eigenvector x, zodat
𝐴𝑥 = 𝜆𝑥, dan geldt
a) Voor een positief geheel getal m geldt dat 𝜆( een eigenwaarde is van 𝐴(
"
b) Als A inverteerbaar is dan is ! een eigenwaarde van 𝐴 )"
c) Als A inv is dan geldt voor elk geheel getal m dat 𝜆( een eigenwaarde is van 𝐴(
, Vectoren die geen eigenvectoren zijn
Zij A een n x n matrix met eigenvectoren 𝑣" , … , 𝑣( en bijbehorende eigenwaarden
respectievelijk 𝜆" , … , 𝜆( . Als 𝑥 ∈ ℝ% geschreven kan worden als een lineaire combinatie van
de eigenvectoren, oftewel 𝑥 = 𝑐" 𝑣" + ⋯ + 𝑐( 𝑣( , dan geldt voor elk geheel getal 𝑘 ≥ 0, en
als A inverteerbaar is ook voor elk geheel getal 𝑘 < 0, dat 𝐴$ 𝑥 = 𝑐" 𝜆"$ 𝑣" + ⋯ + 𝑐( 𝜆$( 𝑣(
Stellingen opdrachten
a) A is een nilpotente matrix (𝐴( = 0) ⟹ 𝜆 = 0 is de enige eigenwaarde
b) A is een idempotente matrix is (𝐴# = 𝐴) ⟹ 𝜆 = 1 en 𝜆 = 0 zijn de enige eigenwaarde
Week 2
Lineaire onafhankelijkheid van eigenvectoren
Zij A een n × n matrix en 𝜆" , … , 𝜆( verschillende bijbehorende eigenwaarden met
eigenvectoren respectievelijk 𝑣" , … , 𝑣( . De eigenvectoren 𝑣" , … , 𝑣( zijn lineair
onafhankelijk
Gelijksoortigheid
De n × n matrices A en B zijn gelijksoortig als er een inverteerbare n × n matrix P bestaat
zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐵. In dat geval schrijven we 𝐴 ~ 𝐵
Equivalentie relatie gelijksoortigheid
Zij A, B en C n × n matrices, dan geldt
a) 𝐴 ~ 𝐴
b) als 𝐴 ~ 𝐵 dan 𝐵 ~ 𝐴
c) als 𝐴 ~ 𝐵 en 𝐵 ~ 𝐶 dan 𝐴 ~ 𝐶
Eigenschappen van gelijksoortige matrices
Zij A en B n × n matrices zodat 𝐴 ~ 𝐵, dan geldt
a) 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐵)
b) A is inverteerbaar ⟺ B inverteerbaar is
c) 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵)
d) A en B hebben dezelfde karakteristieke polynoom
e) A en B hebben dezelfde eigenwaarden
f) 𝐴( ~ 𝐵( voor elk geheel getal 𝑚 ≥ 0
g) Als A inverteerbaar is dan 𝐴( ~ 𝐵( voor elk geheel getal m
Matrices kunnen aan alle eigenschappen voldoen maar niet gelijksoortig zijn
Als aan tenminste 1 eigenschap niet voldaan wordt, zijn de matrices niet gelijksoortig
Diagonaliseerbaarheid
Een n × n matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D bestaat zodat 𝐴 ~ 𝐷
oftewel, als er een inverteerbare matrix P en diagonaalmatrix D bestaan zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐷
Diagonalisatie en eigenwaarden en eigenvectoren
Een n × n matrix A is diagonaliseerbaar ⟺ er 𝑛 lineair onafhankelijke eigenvectoren
behoren bij A
Om precies te zijn, ∃ 𝑖𝑛𝑣 𝑃 en diagonaalmatrix D zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐷 ⟺ de kolommen van P
bestaan uit 𝑛 lineair onafhankelijke eigenvectoren van A en de diagonaalelementen van D
respectievelijk de bijbehorende eigenwaarden zijn
𝑛 verschillende eigenwaarden
Als A een n × n matrix is met n verschillende eigenwaarden dan is A diagonaliseerbaar
Bases van eigenruimtes stelling
Zij A een n × n matrix met verschillende eigenwaarden 𝜆" , … , 𝜆$ . Als 𝛽& een basis is voor de
eigenruimte 𝐸!! dan zijn de vectoren in verzameling 𝛽 = 𝛽" ∪ … ∪ 𝛽$ lineair onafhankelijk
Algebraïsche en geometrische multipliciteit
Zij 𝜆 een eigenwaarde van de n × n matrix A. De geometrische multipliciteit van 𝜆 is kleiner
of gelijk aan de algebraïsche multipliciteit
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper LeonVerweij. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 56326 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen