Samenvatting verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
Hoofdstuk 1. Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1. Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er
verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee tot uitdrukking brengen. Bijvoorbeeld:
- 1 op de 4 pabostudenten is een jongen;
- ¼ deel van de pabostudenten is een jongen;
- 25% van de studenten op de pabo is jongen;
- De verhouding van het aantal mannelijke studenten ten opzichte van het totale aantal
studenten is 1 : 4.
1.1.1. Overeenkomsten en verschillen
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de (sub) domeinen verhoudingen,
gebroken getallen en procenten. Zo kun je bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden, zijn
kommagetallen decimale breuken en kunnen breuken en procenten allebei een verhouding
aangeven. Een breuk geeft een verhouding aan tussen een deel en een geheel. Een percentage geeft
de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op 100 is gesteld.
Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de
realiteit. Bij notatie van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken.
Procenten kom je veel tegen bij kortingen en rente.
In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar. Bijvoorbeeld in
een krant waar ze worden gebruikt om getalsmatige informatie weer te geven.
1.1.2. Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op deze pabo.
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen. Bijvoorbeeld: 1 op de 4 pabostudenten is man.
om te weten hoeveel mannen dit daadwerkelijk zijn, heb je eerst de absolute gegevens nodig.
Voor de zich ontwikkelde gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief
van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel informatie uit de krant en
het nieuws niet goed begrijpen.
Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve
gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te brengen. Dit kan
bijvoorbeeld met het strookmodel. Bij de stroken staan dan zowel de absolute gegevens (de
aantallen) als de relatieve gegevens (het percentage). De strook maakt zichtbaar hoe je verschillende
relatieve gegevens met elkaar kunt vergelijken door het totale aantal op 100% te stellen en (dus) de
stroken even lang te maken.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het – vooral in het
begin van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren. Bijvoorbeeld: zo veel keer
raak of zo veel euro. Zo hou je het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens duidelijk.
,1.2. Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze sub
domeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen ook om de domeinen door elkaar heen te
gebruiken.
1.2.1. Begrip
Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze
met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen
lijken juist op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen
en breuken allemaal rationele getallen met verschillende notatiewijzen.
Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als
kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verder zijn er vooral verschillen: breuken kom je
bijvoorbeeld vaker tegen als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid, kommagetallen bijna
nooit.
Kinderen halen gauw breuken en kommagetallen door elkaar. Ze denken dat 1/5 0,5 is. Om kinderen
dit soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel gebruikmaken van de
verschijningsvorm meetgetal. Bijvoorbeeld met behulp van geld.
Een moeilijkheid hierbij is het gegeven dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Dit lijkt misschien
vanzelfsprekend, maar dat is het voor kinderen zeker niet. Met alleen de mededeling dat je nullen
mag toevoegen, maak je het voor kinderen niet makkelijker. Want als ze niet begrijpen waarom dit
mag, kan dit fouten veroorzaken zoals 0,1 = 0,01. Op deze manier nullen toevoegen mag juist niet.
Een andere manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik van verschillende ondermaten
die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meter is hetzelfde als 1 decimeter en 10
centimeter.
Sommige delingen hebben oneindig veel decimalen achter de komma. Soms herhaalt een groepje
decimalen zich achter de komma. Een getal met zulke decimalen heet een repeterende breuk.
Voorbeeld: de breuk 1/7 is een repeterende breuk. Het kommagetal is 0,142857142857. Die sliert
noemen we een repetendum.
Een breuk kan zowel een absoluut getal zijn als een operator. Een breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een
heel getal, hoeveelheid of prijs.
1.2.2. Weetjes
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit is parate
feitenkennis, zoals ½ = 5/10 = 0,5 = 1 : 2 en komt overeen met 50%. In de bovenbouw moet deze
kennis van onderlinge relaties vlot worden uitgebreid. Allerlei weetjes oefen je daarom. Al snel op
formeel niveau, maar eerst ook nog model ondersteund. Bijvoorbeeld met de strook en het
cirkelmodel.
Reken-wiskundemethodes bieden oefenopgaven voor het leren van al die weetjes. Een andere
manier van oefenen is kinderen zelf opgaven te laten bedenken. Op deze manier gebruiken ze meer
kennis die ze al hebben, denken ze na over de leerinhoud en oefenen ze tegelijkertijd. Deze vorm van
oefenen heet productief oefenen, omdat kinderen zelf opgaven (en weetjes) produceren.
,Hoofdstuk 2. Verhoudingen
2.1. verhoudingen zijn overal
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Bijvoorbeeld de verhouding tussen het aantal jongens en het aantal meisjes op de
pabo. Als 1 op de 4 pabostudenten een jongen is, dan zitten op een pabo met ongeveer 800
studenten ongeveer 200 mannelijke studenten.
Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot of zo klein wordt, het
andere getal ook zoveel keer zo groot of zo klein wordt.
In de supermarkt kom je bijvoorbeeld veel verhoudingen tegen, zoals werk merk in verhouding het
goedkoopst is. Je kijkt niet naar de absolute prijs, maar naar de prijs van een bepaalde, vergelijkbare
eenheid of maat.
Naar mate je meer koopt, stijgt de prijs evenredig. Als de slager aan je vraagt of het een beetje meer
mag zijn, gaan hij en de klant er vanzelfsprekend vanuit dat de prijs dan naar rato, oftewel naar
verhouding stijgt.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verhoudingen maakt het mogelijk om ze met elkaar te vergelijken. Er zijn verschillende
verschijningsvormen van verhoudingen, bijvoorbeeld:
- Sterkte van de koffie of limonade;
- Recepten;
- Snelheid;
- Bevolkingsdichtheid.
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden. Snelheid kun je
bijvoorbeeld uitdrukken in het aantal afgelegde kilometers per uur. Die km/u is samengesteld uit de
grootheid lengte, met de maateenheid kilometer, en de grootheid tijd, met de maat uur.
Een ander veelvoorkomende verhouding is schaal. Deze kom je tegen op landkaarten en
plattegronden. Bij formele schaalnotatie noteren we beide getallen in dezelfde maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld. Bij niet-
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, zoals bij 2 op de 7 of 1 op de 2
miljoen. Niet-gestandaardiseerde verhoudingen zijn daardoor lastiger te vergelijken dan procenten.
Het uitdrukken van zaken in verhouding helpt om informatie letterlijk, maar ook figuurlijk in
verhouding te zien, oftewel op waarde te kunnen schatten.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken. Dit kom je bijvoorbeeld tegen in reclames, cartoons en kunst.
Verhoudingen worden over het algemeen aangegeven met getallen. Dit zijn kwantitatieve
verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen. We spreken van kwalitatieve
verhoudingen als er geen getal aan te pas komt. Kwalitatieve verhoudingen worden uitgedrukt in
woorden, zoals de schoenendoos is naar verhouding te groot of een kind is voor zijn leeftijd lang. Een
kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband. Het onderscheid tussen kwalitatieve en
kwantitatieve verhoudingen zegt dus ook iets over hoe de verhouding wordt waargenomen en tot
uitdrukking wordt gebracht.
, Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal
aan kan worden toegekend. Als een verhouding één grootheid of eenheid betreft, spreek je van een
interne verhouding. Voorbeelden hiervan zijn: de spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht, 1 op de
4 pabostudenten is een jongen.
Een externe verhouding betreft twee verschillende grootheden. Voorbeelden hiervan zijn afgelegde
afstanden in een bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Bij delen kan een onderscheid worden gemaakt tussen een verhoudingsdeling en een
verdelingsdeling.
Bij een verhoudingsdeling kun je denken aan het volgende: er zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van
4 snoepjes kan ik maken? Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde: 12
(snoepjes) : 4 (snoepjes) = … Het gaat dus om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van
het geheel.
Een verdelingsdeling is bijvoorbeeld: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel snoepjes krijgt elk
kind? Bij de verdelingsdeling representeren deeltal en deler elk iets anders: 12 (snoepjes) : 3
(kinderen) = … De uitkomst representeert het aantal snoepjes dat elk kind krijgt.
2.1.2. niet-evenredige verbanden
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding. Dat levert gemakkelijk
misvattingen op. Denk aan verbanden tussen lengte, oppervlakte en inhoud. Als iets twee keer zo
groot wordt, betekent het dat de lengte verdubbeld. Maar de oppervlakte wordt in twee richtingen
verdubbeld: zowel in de lengte als in de breedte. De oppervlakte wordt dus vier keer zo groot.
Deinhoud wordt in drie richtingen verdubbeld (lengte, diepte en hoogte) en wordt dus acht keer zo
groot.
2.1.3. bijzondere verhoudingen
De gulde snede is een verhouding die sinds de zeventiende eeuw stat voor een schoonheidsideaal:
de mooiste verhouding die bestaat. Een rechthoek waarvan de korte en de lange zijde zich
verhouden als de gulde snede, zou de mooist denkbare rechthoek zijn.
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding (ongeveer 22 : 7). Hoe groot of
klein de cirkel ook is, als je de omtrek van een cirkel deelt door de diameter, komt er altijd hetzelfde
getal uit. Dit verhoudingsgetal is ongeveer 22/7, oftewel ongeveer 3,1415926 en wordt π (pi)
genoemd.
2.1.4. wiskundetaal bij verhoudingen
Verhoudingen kunnen worden aangeduid met getallen en met woorden. Er zijn verschillende
zegswijzen met verhoudingen: iets is bijvoorbeeld ‘naar verhouding’ of ‘in verhouding’ duur. Formele
verhoudingentaal is bijvoorbeeld ‘1 op de 4’.
