Ook als de inleveropgave veranderd is, is dit natuurlijk nog steeds een heel goede oefening om de stof te begrijpen! Ik heb zelf erg genoten van het vak Fundamenten van de Wiskunde.
Opgave 2.2.3
(1):
Gegeven: n is een geheel getal en n is even.
Te bewijzen: 3n is even.
Bewijs. Laat n een geheel getal zijn en laat n even zijn. Aangezien n even is dan is n van
de vorm n = 2k met k een geheel getal. Dan geldt 3n = 3(2k) = 2(3k) en dus is 3n ook een
geheel veelvoud van 2 en daarmee even.
(2):
Gegeven: n is een geheel getal en n is oneven.
Te bewijzen: 3n is oneven.
Bewijs. Laat n een geheel getal zijn en laat n oneven zijn. Als n oneven is dan is n van de
vorm n = 2k + 1 met k een geheel getal. Dan geldt 3n = 3(2k + 1) = 6k + 3 = 2(3k + 1) + 1
en dus is 3n een even getal plus 1 en dus oneven.
Opgave 2.2.7
Gegeven: getallen a, b, c en d zijn geheel met a|b en c|d.
Te bewijzen: ac|bd.
Bewijs. Laat a, b, c en d gehele getallen zijn met a|b en c|d. Dan geldt ax = b en cy = d voor
gehele getallen x en y. Daarmee geldt (ac) · (xy) = ax · cy = bd en aangezien (xy) geheel is
geldt ac|bd.
1
, Opgave 2.3.4
Gegeven: rationaal getal q ongelijk aan 0, en x een irrationaal getal.
Te bewijzen: het product van q en x is irrationaal.
Bewijs. Laat q een rationaal getal zijn en x een irrationaal getal zijn.
We zullen een bewijs uit het ongerijmde leveren.
Aangezien q een rationaal getal is, geldt q = ab voor gehele getallen a en b met b 6= 0. Ook
geldt a 6= 0 aangezien q ongelijk aan 0 is.
Neem voor een tegenstelling aan dat qx rationaal is en dus qx = dc voor gehele getallen
c en d met d 6= 0.
Dan geldt qx = ab · x = dc dus x = adbc
waarbij a, b, c en d gehele getallen zijn en dus zijn bc en
ad ook geheel, verder geldt a, d 6= 0 en dus ad 6= 0, hiermee kunnen we concluderen dat x een
rationaal getal is.
Dit is in tegenspraak met het feit dat x irrationaal is. Hiermee moet de aanname dat qx
rationaal is, incorrect zijn. We kunnen concluderen dat qx irrationaal is.
Opgave 2.3.6
Gegeven: c is een geheel getal met c ≥ 2, en c is geen priemgetal.
√
Te bewijzen: er bestaat een geheel getal b zodat b ≥ 2, zodat b|c en zodat b ≤ c.
Bewijs. Laat c een geheel getal zijn zodanig dat c ≥ 2, en c geen priemgetal is.
Aangezien c geen priemgetal is heeft c een positieve deler x ongelijk aan 1 en ongelijk aan c.
Dan nemen we het gehele positieve getal y = xc zodat x · y = c en dus ook y|c.
Aangezien x 6= 1 en x 6= c geldt ook dat y 6= 1 en y 6= c. Dan moet gelden x ≥ 2 en y ≥ 2.
√ √ √ √ √
Ofwel x ≤ c, ofwel y ≤ c, want als x, y > c dan geldt dat c = xy > c · c = c wat
√
een tegenspraak is. De waarde van x, y die kleiner of gelijk is aan c voldoet dus aan de
voorwaarden van b.
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
