Samenvatting rek-wis verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
De theorie in deze samenvatting komt uit het boek verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen van Marc van Zanten, Jos van den Bergh, Petra van den Brom-Snijders en Ortwin
Hutten.
,Hoofdstuk 1: samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen (breuken) en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er
verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee tot uitdrukking brengen. Bijvoorbeeld:
* 1 op de 4 pabostudenten is een jongen;
* ¼ deel van de pabostudenten is een jongen;
* 25% van de studenten op de pabo is een jongen;
* De verhouding tussen het aantal mannelijke studenten en het totaal aantal studenten is 1:4.
Het quotiënt van 1 en 4 is 0,25 (1 : 4 = 0,25).
Overeenkomsten en verschillen tussen de domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten
Overeenkomsten: bij ieder domein kun je een relatief aspect onderscheiden (je kunt niet direct het
daadwerkelijke getal aflezen), zijn kommagetallen decimale breuken en kunnen breuken en procenten allebei
een verhouding aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Een percentage
geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op honderd is gesteld. Je kunt hetzelfde op
verschillende manieren zeggen en schrijven.
Verschillen: bij notatie van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken.
Procenten kom je veel tegen bij kortingen en rente, terwijl kortingen niet worden uitgedrukt in kommagetallen.
Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Relatieve
gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het
daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen. Bijvoorbeeld 1 op de 4. Om het daadwerkelijke aantal te weten heb
je het absolute aantal pabostudenten nodig. Verhoudingen en procenten zijn altijd relatief. Een breuk kan
zowel absoluut als relatief zijn. Voor de zich ontwikkelde gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen
absoluut en relatief van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel informatie uit de
krant en het nieuws niet goed begrijpen. Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het
nodig om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden en met elkaar in verband te
brengen. Dit kan bijvoorbeeld met het strookmodel.
Bij de stroken staan zowel de absolute gegevens (de aantallen) als de
relatieve gegevens (het percentage). De strook maakt zichtbaar hoe je
verschillende relatieve gegevens met elkaar kunt vergelijken: door het
totale aantal op 100% te stellen en de stroken even lang te maken.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar
halen, is het verstandig de getallen benoemend te noteren.
1.2 onderlinge relaties
Kinderen leren de betekenis van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien, zoals:
- 1/5 deel x 10 betekent het 1/5 deel nemen van 10;
- Ik weet dat 20% ergens van hetzelfde is als 1/5 deel daarvan nemen, want 100 gedeeld door 5 is 20;
- 1/5 is eigenlijk 1 gedeeld door 5.
1/2 = 50% = 0,5
1/3 = 33 1/3% = 0,33
1/4 = 25% = 0,25
1/5 = 20% = 0,20
,1/6 = 16 2/3% = 0,167
1/7 = 14 2/7% = 0,143
1/8 = 12,5% = 0,125
1/9 = 11 1/9% = 0,11
1/16 = 6,25% = 0,625
12 % = 12/100 4 % = 1/100
0,12 % = 12/1000 0,4 % = 4/1000
0,012 % = 12/10.000 0,04 % = 4/10.000
Breuken en kommagetallen
Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met elkaar
overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen lijken juist op hele
getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationele
getallen met verschillende notatiewijzen. Qua verschijningsvorm in de realiteit is de opvallendste
overeenkomst dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Om dit inzichtelijk te
maken, kun je ook gebruikmaken van geld.
Een moeilijkheid hierbij is het gegeven
dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Met
alleen de mededeling dat je nullen mag
toevoegen, maak je het voor kinderen
niet makkelijker. Want als ze niet
begrijpen waarom dit mag, kan dit
fouten veroorzaken als 0,1 = 0,01. Een
manier om hier inzichtelijk mee om te
gaan, is het gebruik van verschillende
ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meter is hetzelfde als 1 decimeter. En
1 decimeter is even lang als 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter.
Van breuk naar kommagetal
Als je een breuk wilt omrekenen naar een kommagetal, dan kun je dat als volgt doen:
Hoeveel is 1/7 deel?
Hoeveel zevens gaan er in 1?
0, dus ik noteer een 0 en een komma. Ik heb 1 over…… 0,
Hoeveel zevens gaan er in 10?
1, dus ik noteer een 1 achter datgene wat ik al heb. Ik hou 3 over, want 10 – 1x7 = 3….. 0,1
Hoeveel zevens passen er in 30?
4, dus ik noteer een 4 achter datgene wat ik al heb. Ik hou 2 over, want 30 – 4x7 = 2…. 0,14
Hoeveel zevens passen er in 20?
2, dus ik noteer een 2 achter datgene wat ik al heb. Ik hou 6 over, want 20 – 2x7 = 6… 0,142
Op deze manier ga je steeds verder, totdat je niet verder kunt. Je komt dan op het antwoord:
0,142857142857..
De breuk 1/7 heet een repeterende breuk (breuk die niet als een echte decimale breuk te schrijven is/begint
altijd met 0,) en de sliert 142857 heet het repetendum.
Van kommagetal naar breuk
Als de breuk niet repeteert, is het eenvoudig. Bijvoorbeeld: 3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 =
, 3 19/125. Je schrijft de breuk dus als een tiendelige breuk die je verder vereenvoudigt.
Bij een repeterende breuk, bijvoorbeeld 0,461538461538.. pas je de volgende handigheid toe. Vermenigvuldig
het gezochte getal net zo vaak met 10 als het repetendum lang is. In het voorbeeld telt het repetendum zes
cijfers en vermenigvuldig je dus met 1000000. Trek je van deze uitkomst de gezochte breuk af, dan verdwijnen
alle decimalen als sneeuw voor de zon! Wat overblijft is 999999 (= 1000000 – 1) keer het gezochte getal met als
uitkomst 461538. Daarmee is de breuk bekend: 461538/999999 en die vereenvoudig je in een aantal stappen
tot 6/13.
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een operator doet iets met een getal,
hoeveelheid of prijs. Als een heel pak konijnenvoer 1 kilogram weegt, geeft 3/5 aan wat er met 1 gebeurt.
Zodoende wordt een deel bepaald. De breuk geeft een relatief getal aan. Procenten geven altijd een relatief
gegeven aan en is dus een operator. Voorkom daarom dat kinderen het idee krijgen dat bijvoorbeeld 20%
hetzelfde is als 20/100 en 1/5. Dit is niet altijd zo, want 20/100 en 1/5 zijn absolute getallen en 20% is een
operator. Wel is het zo dat 20% van iets hetzelfde is als het 20/100 deel van iets of het 1/5 deel van iets. In het
laatste geval is de breuk immers een operator.
De strook en cirkelmodel zijn ondersteunende modellen voor dit soort opgaven.
Rekenopgaven:
In een pot zitten knikkers. 1/5 deel is geel, 1/3 deel is rood. 5 knikkers zijn blauw, 9 knikkers zijn groen. Hoeveel
knikkers zitten er in de pot?
1/5 + 1/3 + 5 + 9 = ???
Als eerst moet je de breuken gelijk maken: 5x3 = 15, dus we maken er vijftienden van. De opgave wordt nu:
3/15 + 5/15 + 5 + 9
3/15 + 5/15 = 8/15. Om te weten hoeveel knikkers er totaal zijn, moet je 15/15 weten. Hoeveel moet bij 8/15
om 15/15 te krijgen? Dat is 7/15.
5 + 9 moet dus 7/15 zijn.
5 + 9 = 14, dus 7/15 = 14
Je berekent nu hoeveel 1/15 is:
1/15 = 14 : 7 = 2, dus 1/15 = 2
Je moet 15/15 weten, dus je doet: 15 x 2 = 30
Er zitten dus in totaal 30 knikkers in de pot.
Wat is 12,5% van 880?
Je doet:
880 : 8 = 110, want 12,5% = 1/8
12,5% van 880 is dus: 110
Wat is 33 1/3% van 1/4 deel van 990?
