Samenvatting rekenen
inleiding
Absolute gegevens: zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens: zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of
aantal kunt aflezen. Bijvoorbeeld 1 op de 4 studenten is man. Om dat te berekenen heb je absolute
gegevens nodig.
Strookmodel: Bij het strookmodel staan zowel relatieve gegevens (percentage) als de absolute
gegevens (aantal).
Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met
elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen lijken
juist op hele getallen en niet op breuken.
Declaratieve kennis: feitenkennis, zoals ½ = 5/10 = 0.5 = 1:2 = 50%
,Hoofdstuk 1: samenhang verhoudingen,
procenten, breuken en kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
1.1.1 overeenkomsten en verschillen
Relatief aspect: je kunt bij elk domein een relatief aspect onderscheiden.
Bijvoorbeeld: kommagetallen zijn decimale breuken en breuken en procenten kunnen allebei een
verhouding aangeven.
Verschijningsvorm: alle domeinen kennen hun eigen verschijningsvorm.
Bijvoorbeeld: bij een notatie van geldbedragen gebruiken we kommagetallen en geen breuken.
Procenten kom je tegen bij kortingen.
Getalsmatige informatie: verhoudingen, breuken en procenten worden in het dagelijks leven door
elkaar heen gebruikt.
Bijvoorbeeld: in een krant waar ze worden gebruikt om (getalsmatige) informatie te weergeven.
1.1.2 Absoluut en relatief:
Absolute gegevens: zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op de pabo.
Relatieve gegevens: zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of
aantal kunt aflezen.
Bijvoorbeeld: 1 op de 4 pabo studenten is man.
Voor de zich ontwikkelde gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief
van groot belang. Wanneer kinderen dit onderscheid niet kunnen maken is het moeilijk om
informatie uit een tekst te halen.
Strookmodel: bij een strook vinden we zowel absolute gegevens (de
aantallen) als de relatieve gegevens (het percentage).
Benoemd getal: om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het
(vooral in het begin van het leerproces) verstandig de getallen benoemd te noteren. Bijvoorbeeld in
een verhaaltjessom.
Bijvoorbeeld: Jesse heeft 600 euro gespaard. 240 euro betaalt hij voor een mp3-speler. (de kinderen
vullen zelf de strook in met relatieve getallen maar worden ondersteund door de benoemde getallen,
de absolute gegeven).
1.2 Onderlinge relaties
1.2.1 Begrip
Overeenkomsten tussen breuken en kommagetallen:
In betekenis komen ze met elkaar overeen (het zijn allebei gebroken getallen);
Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken
als kommagetallen tegenkomst als meetgetallen.
Verschillen tussen breuken en kommagetallen:
De notatie verschild want kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken;
Breuken komen vaker voor als een deel van een geheel en deel van een hoeveelheid
(kommagetallen hebben dit eigenlijk nooit).
,Rationaal getal: zijn breuken, hele getallen en kommagetallen maar verschillen van notatiewijzen.
Ondermaat: een ondermaat is een hulpmiddel die kinderen zelf kunnen bedenken.
Bijvoorbeeld: 0,1 meter is hetzelfde als 1 decimeter etc.
Repeterende breuk: een breuk die als kommagetal een repetendum heeft.
Bijvoorbeeld: 1/7, 1:7 = 0,142857142857…. De sliert 14257 is het repetendum en herhaald zichzelf.
Een breuk als absoluut getal: kun je weergeven als een punt op een getallenlijn.
Een breuk als operator: doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs.
1.2.2. Weetjes
Declaratieve kennis: feitenkennis. Deze kennis moet snel beschikbaar zijn zodat kinderen ze snel
kunnen toepassen.
Formeel niveau: een kale som.
3+2= 5
Model ondersteunend: rekenen met een model zoals een strook- of een cirkelmodel.
,Hoofdstuk 2: verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
2.1.1 evenredige verbanden
Recht evenredig verband: is een verhouding tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen.
Bijvoorbeeld: de verhouding tussen het aantal jongens en meisjes op de pabo.
Evenredig verband: betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot/klein wordt, het andere getal
ook zoveel keer zo groot/klein wordt.
Bijvoorbeeld: in de supermarkt wil je een pak suiker kopen dan kan je in verhouding kijken welk pak
het goedkoopst is.
Naar rato stijgen: betekend dat het naar verhouding stijgt.
Dit hoor je veel bij de slager, bakker etc. Bijvoorbeeld: mag er een onsje bij?
Grootheid: bijvoorbeeld: lengte, gewicht, inhoud.
Verschijningsvormen van verhoudingen (voorbeelden):
Sterkte van de koffie;
Recepten (voor vier personen iets omrekenen naar 6 personen);
Snelheid;
Bevolkingsdichtheid.
Samengestelde grootheden: verschijningsvormen als snelheid en dichtheid
Bijvoorbeeld: kilometer per uur (km/u).
Percentage: een gestandaardiseerde verhouding. Het totaal is op honderd gesteld. Bij niet
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn (zoals één op de miljoen).
Wanverhouding: worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te trekken.
Bijvoorbeeld in reclames, cartoons of kunst.
Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Kwalitatieve verhoudingen: de verhouding word uitgedrukt in woorden: groot, lang, kort etc. Het is
vaak een meetkundig verband.
Interne verhouding: de verhouding betreft één grootheid of eenheid.
Bijvoorbeeld: 1 op de vier pabostudenten is man.
Externe verhouding: de verhouding betreft twee verschillende grootheden.
Bijvoorbeeld: de prijs per kilo.
Soorten delen:
Verhoudingsdeling: deeltal en deler representeren hetzelfde.
Bijvoorbeeld 12:4=3 (interne verhouding)
Verdelingsdelen: deeltal en deler representeren elk iets anders.
Bijvoorbeeld: 12 snoepjes gedeeld door 3 kinderen.
Lineair verband: is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft.
, 2.1.2 Niet evenredige verbanden
Niet evenredig verband: hebben geen verhouding (de lijn in de grafiek neemt niet evenredig toe of af
en is daarom niet recht).
Additief: dat betekend meestal meer.
Multiplicatief: dat betekend meestal keer.
Break-evenpoint: een kruispunt in een lijngrafiek.
Bijvoorbeeld: een grafiek over abonnementen waar de kosten hetzelfde zijn.
2.1.3 bijzondere verhoudingen
De gulde snede: de mooiste verhouding die er bestaat. Het is een verhouding sinds de
zeventiende eeuw die staat voor een schoonheidsideaal. Het is een rechthoek
waarvan de korte en lange zijde zich verhouden als de gulde snede. Het wordt ook wel
de goddelijke verhouding genoemd.
Phi: het precieze verhoudingsgetal heeft een oneindig aantal decimalen.
22/7=3,141…
Rationele getallen: zijn wat we in onze taal aanduiden met breuken. Kenmerk van deze getallen is
dat, wanneer ze decimaal geschreven worden, de decimalen op een bepaald moment stoppen.
Irrationele getallen: zijn de getallen waar de decimalen nooit van stoppen.
Bijvoorbeeld: phi.
inleiding
Absolute gegevens: zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens: zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of
aantal kunt aflezen. Bijvoorbeeld 1 op de 4 studenten is man. Om dat te berekenen heb je absolute
gegevens nodig.
Strookmodel: Bij het strookmodel staan zowel relatieve gegevens (percentage) als de absolute
gegevens (aantal).
Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met
elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen lijken
juist op hele getallen en niet op breuken.
Declaratieve kennis: feitenkennis, zoals ½ = 5/10 = 0.5 = 1:2 = 50%
,Hoofdstuk 1: samenhang verhoudingen,
procenten, breuken en kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
1.1.1 overeenkomsten en verschillen
Relatief aspect: je kunt bij elk domein een relatief aspect onderscheiden.
Bijvoorbeeld: kommagetallen zijn decimale breuken en breuken en procenten kunnen allebei een
verhouding aangeven.
Verschijningsvorm: alle domeinen kennen hun eigen verschijningsvorm.
Bijvoorbeeld: bij een notatie van geldbedragen gebruiken we kommagetallen en geen breuken.
Procenten kom je tegen bij kortingen.
Getalsmatige informatie: verhoudingen, breuken en procenten worden in het dagelijks leven door
elkaar heen gebruikt.
Bijvoorbeeld: in een krant waar ze worden gebruikt om (getalsmatige) informatie te weergeven.
1.1.2 Absoluut en relatief:
Absolute gegevens: zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op de pabo.
Relatieve gegevens: zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of
aantal kunt aflezen.
Bijvoorbeeld: 1 op de 4 pabo studenten is man.
Voor de zich ontwikkelde gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief
van groot belang. Wanneer kinderen dit onderscheid niet kunnen maken is het moeilijk om
informatie uit een tekst te halen.
Strookmodel: bij een strook vinden we zowel absolute gegevens (de
aantallen) als de relatieve gegevens (het percentage).
Benoemd getal: om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het
(vooral in het begin van het leerproces) verstandig de getallen benoemd te noteren. Bijvoorbeeld in
een verhaaltjessom.
Bijvoorbeeld: Jesse heeft 600 euro gespaard. 240 euro betaalt hij voor een mp3-speler. (de kinderen
vullen zelf de strook in met relatieve getallen maar worden ondersteund door de benoemde getallen,
de absolute gegeven).
1.2 Onderlinge relaties
1.2.1 Begrip
Overeenkomsten tussen breuken en kommagetallen:
In betekenis komen ze met elkaar overeen (het zijn allebei gebroken getallen);
Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken
als kommagetallen tegenkomst als meetgetallen.
Verschillen tussen breuken en kommagetallen:
De notatie verschild want kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken;
Breuken komen vaker voor als een deel van een geheel en deel van een hoeveelheid
(kommagetallen hebben dit eigenlijk nooit).
,Rationaal getal: zijn breuken, hele getallen en kommagetallen maar verschillen van notatiewijzen.
Ondermaat: een ondermaat is een hulpmiddel die kinderen zelf kunnen bedenken.
Bijvoorbeeld: 0,1 meter is hetzelfde als 1 decimeter etc.
Repeterende breuk: een breuk die als kommagetal een repetendum heeft.
Bijvoorbeeld: 1/7, 1:7 = 0,142857142857…. De sliert 14257 is het repetendum en herhaald zichzelf.
Een breuk als absoluut getal: kun je weergeven als een punt op een getallenlijn.
Een breuk als operator: doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs.
1.2.2. Weetjes
Declaratieve kennis: feitenkennis. Deze kennis moet snel beschikbaar zijn zodat kinderen ze snel
kunnen toepassen.
Formeel niveau: een kale som.
3+2= 5
Model ondersteunend: rekenen met een model zoals een strook- of een cirkelmodel.
,Hoofdstuk 2: verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
2.1.1 evenredige verbanden
Recht evenredig verband: is een verhouding tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen.
Bijvoorbeeld: de verhouding tussen het aantal jongens en meisjes op de pabo.
Evenredig verband: betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot/klein wordt, het andere getal
ook zoveel keer zo groot/klein wordt.
Bijvoorbeeld: in de supermarkt wil je een pak suiker kopen dan kan je in verhouding kijken welk pak
het goedkoopst is.
Naar rato stijgen: betekend dat het naar verhouding stijgt.
Dit hoor je veel bij de slager, bakker etc. Bijvoorbeeld: mag er een onsje bij?
Grootheid: bijvoorbeeld: lengte, gewicht, inhoud.
Verschijningsvormen van verhoudingen (voorbeelden):
Sterkte van de koffie;
Recepten (voor vier personen iets omrekenen naar 6 personen);
Snelheid;
Bevolkingsdichtheid.
Samengestelde grootheden: verschijningsvormen als snelheid en dichtheid
Bijvoorbeeld: kilometer per uur (km/u).
Percentage: een gestandaardiseerde verhouding. Het totaal is op honderd gesteld. Bij niet
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn (zoals één op de miljoen).
Wanverhouding: worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te trekken.
Bijvoorbeeld in reclames, cartoons of kunst.
Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Kwalitatieve verhoudingen: de verhouding word uitgedrukt in woorden: groot, lang, kort etc. Het is
vaak een meetkundig verband.
Interne verhouding: de verhouding betreft één grootheid of eenheid.
Bijvoorbeeld: 1 op de vier pabostudenten is man.
Externe verhouding: de verhouding betreft twee verschillende grootheden.
Bijvoorbeeld: de prijs per kilo.
Soorten delen:
Verhoudingsdeling: deeltal en deler representeren hetzelfde.
Bijvoorbeeld 12:4=3 (interne verhouding)
Verdelingsdelen: deeltal en deler representeren elk iets anders.
Bijvoorbeeld: 12 snoepjes gedeeld door 3 kinderen.
Lineair verband: is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft.
, 2.1.2 Niet evenredige verbanden
Niet evenredig verband: hebben geen verhouding (de lijn in de grafiek neemt niet evenredig toe of af
en is daarom niet recht).
Additief: dat betekend meestal meer.
Multiplicatief: dat betekend meestal keer.
Break-evenpoint: een kruispunt in een lijngrafiek.
Bijvoorbeeld: een grafiek over abonnementen waar de kosten hetzelfde zijn.
2.1.3 bijzondere verhoudingen
De gulde snede: de mooiste verhouding die er bestaat. Het is een verhouding sinds de
zeventiende eeuw die staat voor een schoonheidsideaal. Het is een rechthoek
waarvan de korte en lange zijde zich verhouden als de gulde snede. Het wordt ook wel
de goddelijke verhouding genoemd.
Phi: het precieze verhoudingsgetal heeft een oneindig aantal decimalen.
22/7=3,141…
Rationele getallen: zijn wat we in onze taal aanduiden met breuken. Kenmerk van deze getallen is
dat, wanneer ze decimaal geschreven worden, de decimalen op een bepaald moment stoppen.
Irrationele getallen: zijn de getallen waar de decimalen nooit van stoppen.
Bijvoorbeeld: phi.
