Rekenen-wiskunde
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verschijningsvormen zijn vormen die voorkomen in de realiteit. Bij notatie van geldbedragen
gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken. Procenten kom je veel tegen bij
kortingen en rente, terwijl kortingen niet worden uitgedrukt in kommagetallen.
Absolute gegevens = getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op deze pabo.
Relatieve gegevens = zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het
daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Bijvoorbeeld: 1 op de 4 pabostudenten is
man.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen , is het – vooral in
het begin van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren. Bijvoorbeeld 600
euro of 3 keer raak gegooid.
1.2 Onderlinge relaties
Breuken en kommagetallen
Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis
komen ze met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter:
kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele
getallen, kommagetallen en breuken rationele getallen met verschillende notatiewijzen.
Rationaal getal = het quotiënt van twee hele getallen (waarvan de tweede niet 0 is). De
natuurlijke getallen, oftewel de (positieve) hele getallen, zijn dus ook rationale getallen: de
noemer is dan 1.
2
Een quotiënt is de uitkomst van een deling. Voorbeeld: het quotiënt van 2 en 3 (2:3) is
3
‘Ratio’ betekent verhouding. Een breuk is dus een verhoudingsgetal; het is de verhouding
tussen twee hele getallen (de teller en de noemer).
Qua verschijningsvormen in de realiteit si de opvallendste overeenkomst dat je zowel
breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verder zijn er vooral verschillen:
breuken komen bijvoorbeeld vaker voor als deel van een geheel en deel van een
hoeveelheid; kommagetallen nooit.
Van breuk naar kommagetal
Repeterende breuk = een breuk die niet als een echte decimale breuk te schrijven is.
Repetendum = als een breuk in kommagetallen wordt geschreven. De cijfers achter de
komma worden het repetendum genoemd, zonder dat er herhaling optreedt. Voorbeeld:
0,142857142857… Het repetendum is 142857.
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn.
Absoluut getal = het moet los worden gezien van alle andere dingen.
Operator = doet iets met het getal, hoeveelheid of prijs.
,Declaratieve kennis = bestaat uit weetjes. De leerling weet dat 12 bestaat uit 8 en 4.
In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot worden uitgebreid. Allerlei
weetjes oefen je daarom in. Al snel op formeel niveau, maar eerst ook nog
modelondersteunend.
Productief oefenen = kinderen produceren zelf opgaven (en weetjes).
Hoofdstuk 2 Verhoudingen
2.2 Verhoudingen op de basisschool
2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen
Schets van de leerlijn verhoudingen
- Informeel handelend en redeneren
o Kwalitatieve verhoudingen (groep
1/2)
o Kwantificeren van verhoudingen
(vanaf groep 3)
- Modelondersteund redeneren en rekenen
in contextsituaties
o Eenvoudige contexten met
vermenigvuldigen en delen (vanaf
groep 4)
- Modelondersteund en formeel redeneren
en rekenen
o Complexere contexten en getallen
(vanaf groep 5)
o Formele verhoudingentaal
o Relatie met breuken (vanaf groep 6)
o Procenten (vanaf groep 7)
Informeel handelen en redeneren
Kwalitieve verhoudingen = zichtbare verschillen in
grootte, afstand en dergelijke, waar nog geen getal
aan te pas hoeft te komen.
Kwantitatieve verhoudingen / getalsmatige verhoudingen = er wordt een getal toegekend aan
een verhouding.
Modelondersteund redeneren en rekenen in contextsituaties
Eerlijk verdeelsituatie / vermenigvuldigen = als drie kinderen zes snoepjes krijgen, hoeveel
snoepjes zijn er dan nodig voor vier kinderen?
Aanvankelijk gaat het alleen om vermenigvuldigopgaven met eenvoudige getallen,
overkomend met het leren van de tafels van vermenigvuldigen. Verhoudingen worden alleen
aangeboden in een betekenisvol perspectief. Dit betekent dat toepassingssituaties met
verhoudingen die in het echte leven voorkomen als context worden gebruikt.
Modelondersteund en formeel redeneren en rekenen
Verhoudingen worden tot en met groep 8 vooral in toepassingssituaties aangeboden. Dit wil
niet zeggen dat er sprake is van contextgebonden handelen. In de loop van de basisschool
worden ook complexere contexten gebruikt, zoals werken met schaal.
, 2.2.2 Modellen bij verhoudigen
Veelgebruikte modellen bij verhoudingen zijn de dubbele getallenlijn, de verhoudingstabel en
de schaallijn.
De dubbele getallenlijn
Het verschil met een gewone getallenlijn is dat op de dubbele getallenlijn het verband tussen
twee zaken zichtbaar wordt gemaakt. Bijvoorbeeld tussen de grootheiden tijd en afstand bij
een snelheid. De dubbele getallenlijn is een denkmodel: het ondersteunt het denken doordat
het zichtbaar is welke bewerking moet
worden uitgevoerd. De dubbele
getallenlijn kun je dus gebruiken om
greep te krijgen op het evenredige
karakter van verhoudingen. Dit is een
groot verschil met de verhoudingstabel.
De verhoudingstabel
De verhoudingstabel is abstracter van aard dan de dubbele getallenlijn, doordat de
onderlinge afstand tussen de getallenparen niet meer wordt gepresenteerd door een afstand.
Het gaat om eenvoudige getallen en vermenigvuldigingen, vaak overkomend met de tafels
die kinderen leren. De verhoudingstabel heeft het karakter van een uitrekentabel.
Na verloop van tijd gebruiken ze de
verhoudingstabel ook voor het rekenen met
grotere getallen, breuken, kommagetallen
en percentages. Er hoeft niet alleen met
vermenigvuldigd te worden, er kunnen ook
sommen met optellen, aftrekken en delen
aan te pas komen.
Kruiselings vermenigvuldigen
Het betekent dat je bij gelijkwaardige breuken de tellen van de
ene breuk vermenigvuldig met de noemer van de andere breuk,
gelijk is aan de noemer van de ene breuk vermenigvuldigd met de
tellen van de andere.
Schaal en schaallijn
Schaalbegrip is het inzicht dat afbeeldingen
van objecten op schaal, in een vast
verhouding tot de werkelijkheid grootte staan.
Opgaven met schaal komen al voor vanaf
groep 4. In groep 6 en 7 wordt het begrip
‘schaal’ geformaliseerd.
2.2.3 Redeneren en rekenen met
verhoudingen
Snelheid
Snelheid is een samengestelde grootheid. Snelheid is een verhouding tussen de grootheden
afstand en tijd.
Andere verschijningsvormen
Zoals gezegd worden allerlei verschijningsvormen van verhoudingen gebruikt als
toepassingssituatie. Bijvoorbeeld mengsels en dichtheid. Ranja wordt gemaakt van siroop en
water in een bepaalde verhouding tot elkaar.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Myrthebrinkhof. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €3,49. Je zit daarna nergens aan vast.
