Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1
Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Overeenkomsten en verschillen
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de domeinen verhoudingen,
gebroken getallen en procenten. Zo kun je bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden
• Kommagetallen zijn decimale breuken.
• Breuken en procenten kunnen allebei een verhouding aangeven.
• Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel.
• Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op honderd is
gesteld.
Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruiken en verschijningsvormen in de
realiteit. Bij notatie van geldbedragen gebruik je kommagetallen en geen breuken.
Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke
hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijvoorbeeld: er zitten 536
studenten op deze pabo.
Relatieve gegevens zijn hoeveelheden of aantallen
verhoudingsmatige gegevens. Je weet niet het daadwerkelijke getal
of je kunt geen aantal aflezen. Bijvoorbeeld: 1 op de 4
pabostudenten is een man.
Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het
onderscheid tussen absoluut en relatief van groot belang. Zonder
begrip van dut onderscheid kun je namelijk veel informatie uit de
krant en het nieuws niet hoed begrijpen.
Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve
gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden en met elkaar in verband te brengen. Dit kan
bijvoorbeeld met het strookmodel.
Bij een strookmodel staan zowel de absolute gegevens (de aantallen) als de relatieve gegevens (het
percentage). De strook maakt zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens met elkaar kunt
vergelijken.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het – vooral in het
begin van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren. Dit helpt om het onderscheid
tussen absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze
subdomeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen ook om de domeinen door elkaar heen te
gebruiken.
,Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken
getallen, besteden reken-wiskundemethodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen
ervan. Om de samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de domeinen
in de realiteit door elkaar voorkomen.
Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien,
zoals:
• 1/5 x 10 betekent het 1/5 deel nemen van 10;
• Ik weet dat 20% ergens van hetzelfde is als 1/5 deel daarvan nemen, want 100 gedeeld door
5 is 20;
• 1/5 is eigenlijk 1 gedeeld door 5.
Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal
afzonderlijk leren, alsof het losstaande feitjes zouden zijn. Bovendien kun je zo gemakkelijk
optredende misvattingen voorkomen.
Breuken en kommagetallen
Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze
met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen
lijken juist op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen
en breuken allemaal rationele getallen met verschillende notatiewijzen. Voor kinderen levert dit wel
wat moeilijkheden op.
Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als
kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verder zijn er vooral verschillen: breuken komen
bijvoorbeeld vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid; kommagetallen bijna
nooit.
Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen, bijvoorbeeld ½ = 0,5 en 1/5 = 0,2. Bij
onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen al gauw door elkaar. Ze denken dan
bijvoorbeeld dat 1/5 hetzelfde is als 0,5.
Om kinderen dit soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel, gebruiken
maken van de verschijningsvorm meetgetal.
Van breuk naar kommagetal
Wanneer je breuken als 1/7 als kommagetal schrijft door de breuk op te vatten als een deling, kom je
tot de ontdekking dat de uitkomst van die deling een bijzonder uiterlijk heeft.
Hoeveel zevens gaan er in 1? 0, noteer een 0 en een komma, over 1.
Hoeveel zevens in 10? 1, over 3.
Hoeveel zevens in 30? 4, over 2.
Hoeveel zevens in 20? 2, over 6.
Hoeveel zevens in 60? 8, over 4.
Hoeveel zevens in 40? 5, over 5.
Hoeveel zevens in 50? 7, over 1.
Je gebruikt steeds het laatste cijfer plus een 0.
De breuk 1/7 (0,142857142857) is een repeterende breuk want de sliert van decimalen blijft gelijk.
De sliert 142857 heet het repetendum.
Van kommagetal naar breuk
Omgekeerd kan het ook, maar is het soms wat ingewikkelder. Als de breuk niet repeteert, is het
eenvoudig. Bijvoorbeeld: 3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 = 152/1000 = 197/64 = 3
5/64. Je schrijft het getal als een tiendelige breuk die je verder vereenvoudigt.
, Bij een repeterende breuk, bijvoorbeeld 0,461538461538… pas je de volgende handigheid toe.
Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als het repeterende lang is. In het voorbeeld
telt het repetendum zes cijfers en vermenigvuldig je dus met 1000 000. Trek van deze uitkomst de
gezochte breuk af. Wat overblijft is 999 999 (1000 000 – 1) keer het gezochte getal met als uitkomst
461 538. Daarmee is de breuk bekend: 461 538/999 999 en die vereenvoudig je in een aantal
stappen tot 6/13.
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een
breuk als absoluut getal kun je weergeven als een punt op de
getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een
getal, hoeveelheid of prijs.
Als het hele pak konijnenvoer 1 kilogram weegt, geeft 3/5 aan wat er
met 1 gebeurt. Zodoende wordt een deel bepaald. Anders gezegd: de
breuk geeft hier een relatief gegeven aan. Een breuk kan dus zowel
een absoluut als relatief gegeven representeren.
Bij procenten is dit anders: een percentage geeft altijd een relatief
gegeven aan en is dus altijd een operator.
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis
beschikbaar zijn. Dit is parate feitenkennis, zoals ½ = 5/10 = 0,5 = 1:2 en komt overeen met 50%. In
de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot worden uitgebreid. Je oefent dit daarom
in. Al snel op formeel niveau, maar eerst ook nog modelondersteunend. Bijvoorbeeld met de strook
en het cirkelmodel.
Weetjes
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit is parate
feitenkennis, zoals ½ = 5/10 = 0,5 = 1:2 en komt overeen met 50%. In de bovenbouw moet die kennis
van onderlinge relaties vlot worden uitgebreid. Je oefent dit daarom in. Al snel op formeel niveau,
maar eerst ook nog modelondersteunend. Bijvoorbeeld met de
strook en het cirkelmodel.
Hoofdstuk 2
Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
Van jongs af aan komen we dagelijks in aanraking met verhoudingen. Het gaat om verhoudingsgewijs
redeneren. In het dagelijks leven doe je dit veel, vaak onbewust. Doordat we alle dingen om ons
heen in verhouding tot elkaar zien, kun je bijvoorbeeld inschatten hoe groot de schoenendoos op de
foto ongeveer is.
Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein)
wordt, het andere getal (of de andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt. In het
dagelijks leven kom je veel verhoudingen tegen, bijvoorbeeld welk merk in verhouding het
goedkoopst is. Dit betekent dat je niet naar de absolute prijs kijkt – dus de prijs voor een toevallige
verpakking of hoeveelheid – maar naar de prijs van een bepaald, vergelijkbare eenheid of maat.
