Samenvatting Wiskunde in de praktijk- kerninzichten
Hoofdstuk 1 Hele getallen
Overzicht kerninzichten
Bij tellen en getallen verwerven kinderen het inzicht dat:
- Bij tellen van aantal voorwerpen het opzeggen van de telrij gelijkloopt met het
aanwijzen → synchroon tellen
- Het laatste getal bij tellen van een aantal objecten de hoeveelheid aanduid
→ resultatief tellen
- Hoeveelheden kunnen gerepresenteerd worden met behulp van materialen,
schema’s en cijfersymbolen → representeren
Bij de referentieniveaus staat dat op 12-jarige leeftijd je hele getallen moet kunnen
uitspreken en schrijven voor niveau 1F tot 100.000 en voor niveau 1S tot miljard. Kinderen
moeten in de telrij tot 100.000 kunnen doortellen en terugtellen, en deze rijen kunnen
opschrijven op basis van een structuur in de telrij en in de getallen
1.1 Synchroon tellen
Synchroon tellen: kinderen leren een voorwerp aan te wijzen en daarbij tegelijkertijd één
telwoord te noemen
- Bij kleuters komt asynchroon tellen snel voor bij spelletjes, bijvoorbeeld bij een
bordspel waarbij een leerling wel doortelt, maar de pion niet per telgetal een hokje
opschuift
- Door interactie tijdens spellen waarbij kinderen elkaar corrigeren leren ze spelende
wijs
Wanneer kinderen hoeveelheden niet overzien is het lastig om voorwerpen maar één keer te
tellen. Een telrij betreft hierbij een ritme waarin kinderen tellen tot een bepaald getal
- Jonge kinderen oefenen spontaan met tellen en doen het met veel plezier
Synchroon tellen is een kerninzicht dat kinderen moeten ontwikkelen om later objecten goed
te kunnen tellen. Bij elk voorwerp dat je aanwijst, moet je één telwoord noemen en steeds
het volgende telwoord → hierdoor is synchroon tellen van belang om te kunnen vaststellen
hoeveel voorwerpen er zijn, ook wel resultatief tellen (het resultaat, hoeveelheid aan het
eind van de telrij)
Aspecten van synchroon tellen
- Een pion sneller over de vakken van het speelbord verplaatsen dan het uitspreken
van telwoorden
- Voorwerpen dubbel tellen of overslaan, omdat ze verspreid liggen door elkaar
- Bij het tellen van voorwerpen langzamer benoemen dan aanwijzen
- Telwoorden tot een max maar kennen, bijv. tot 12
,Hoe herken je dat het kerninzicht synchroon tellen ontwikkeld is bij een leerling?
- Als hij/zij bij het tellen van voorwerpen precies tegelijk een voorwerp aanwijst en
daarbij één telwoord noemt
- Weet dat je alle voorwerpen moet tellen
- Voorwerpen ordenen om ze beter te kunnen tellen
- Bij aanwijzen geen voorwerpen dubbel tellen of overslaan
- Bij het tellen van voorwerpen de telwoorden correct en in de goede volgorde
opnoemen (voor jongste kleuter tot en met zes en oudere kleuters tot en met tien)
1.2 Resultatief tellen
Resultatief tellen: om een hoeveelheid te tellen, naast het synchroon tellen is het ook
noodzakelijk dat je begrijpt dat het telwoord bij het laatst getelde object het aantal van de
hele verzameling weergeeft
Bij het tellen van de kinderen in de kring wijst de leerling steeds een leerling aan en benoemt
het juiste telwoord
- De getallen die worden opgenoemd tijdens het tellen hebben een ordinale of
ordeningsfunctie → het gaat om een volgorde
- Wanneer de leerling het laatste telwoord wordt benoemd en de leerling beseft dat
dat het resultaat is van het tellen verandert het getal van een ordinale functie → naar
een kardinale of een hoeveelheidsfunctie
Bij resultatief tellen wordt een hoeveelheid vastgesteld. Er wordt geteld en het
laatstgenoemde getal geeft het resultaat weer. Het heeft een kardinaal aspect
- Tijdens het tellen worden de telwoorden van ordinale functie naar een kardinale
functie gebruikt 3
- Door het observeren kan een leerkracht bekijken of leerlingen inzicht hebben in
resultatief tellen
- Door het stellen van vragen kunnen kinderen geholpen worden om zich bewust te
worden van resultatief tellen
Resultatief tellen kan alleen ontwikkeld worden als de leerling al goed synchroon kan tellen.
Daarnaast moet de leerling begrijpen dat het laatste telwoord een hoeveelheid aangeeft
Bij het resultatief tellen zijn er dus twee functies van getallen
- Hoeveelheidsgetal: gaat om hoeveelheid of kardinale functie
- Telgetal: het gaat om de volgorde of ordinale functie, de getallen waarmee je telt
bijvoorbeeld bladzijde 5, huisnummer 37
Daarnaast kunnen getallen ook nog drie andere functies hebben
- Meetgetal: getal met een maat erachter: 7 meter, 3 kilo, 2 jaar
- Naamgetal: als het ware een naam aangeeft, zoals bij bus 15
- Rekengetal: is een (abstract) getal om mee te rekenen, zoals 5+3=8
,Hoe herken je dat het kerninzicht resultatief tellen is ontwikkeld bij de leerlingen?
- Na het noemen van telwoorden bij het tellen weten dat het laatste telwoord de
hoeveelheid aangeeft
- Bij zowel geordende als ongeordende hoeveelheden in staat zijn te tellen hoeveel het
er zijn
- Een kleine hoeveelheid bewegende voorwerpen kan tellen
- Een aantal of niet ritmische geluiden kan tellen
- Het aantal en de juiste betekenis toekennen aan hoeveelheden en getallen die
verschillende functies hebben
1.3 Representeren van getallen
Getallen worden met cijfersymbolen van 0 tot en met 9 geschreven. Jonge kinderen kunnen
getallen uitbeelden met symbolen zoals dobbelstenen, streepjes of hun handen
Kinderen kunnen dus getallen representeren. Bijvoorbeeld bij de vraag hoe oud ze zijn steken
ze het aantal vingers op. Dit wordt de representatie van getallen genoemd.
- Kinderen laten getallen op verschillende manieren zien
- Door het gebruiken van verschillende mogelijkheden voor het laten zien van getallen
en dit uit te wisselen en te bespreken gaan leerlingen van elkaar leren en komen ze
dichter bij het inzicht van wat het getal betekent
- Kinderen verwerven het inzicht dat je hoeveelheden kunt representeren met behulp
van materialen, schema’s en cijfersymbolen
→ Als leerkracht in de onderbouw kun je kinderen uitdagen om zelf representaties te
bedenken om hoeveelheden en getallen weer te geven dan leren kinderen verschillende
mogelijkheden
Groep 1 en 2: getallen tot en met tien worden vaak in de juiste volgorde opgehangen
Groep 3 en 4: waslijn met getal kaartjes tot 20 en later tot 100
→ De getal lijn ondersteund bij het leren optellen en aftrekken
Hoe herken je dat het kerninzicht representatie van getallen is ontwikkeld bij de leerlingen?
- Bij een getal dat uitgesproken wordt, een juiste hoeveelheid voorwerpen neerleggen
of juiste hoeveelheid vingers opsteken
- Bij een getal dat uitgesproken wordt, het juiste dobbelsteenpatroon of
stippenpatroon aan kunnen wijzen
- Bij een getal dat uitgesproken wordt, het juiste cijfersymbool aan kunnen wijzen
, 1.4 Leerlijn tellen en getallen
In deze paragraaf wordt er ingegaan op de leerlijn van leerlingen met betrekking tot de
kennis over tellen en getallen. Jonge kinderen leren, voordat ze naar groep 1 gaan al tellen en
hoeveelheden herkennen
Vanaf ongeveer 2 jaar: kinderen kunnen hoeveelheid 2,3 en soms 4 en 5 noemen op basis
van herkenning → structuur speelt een grote rol
- Kinderen leren telwoorden door volwassenen te imiteren. Volwassenen tellen vaak
alles samen met kinderen, hierdoor oefenen ze onbewust de jonge kinderen met de
telwoorden
Vanaf ongeveer 4 jaar: op school wordt de telrij verder geoefend. Het ritmisch opzeggen van
de telrij, zonder besef van de betekenis is ook wel akoestisch tellen → herhaling belangrijk
- Er zijn veel liedjes, spelletjes om telwoorden te oefenen
- Terugtellen is hierbij moeilijker dan vooruit tellen, omdat het getal 0 op een
natuurlijke manier aan de orde komt en bij vooruit tellen begin je bij 1. Het vermogen
hiervan is van belang bij als voorbereiding op latere aftrekken
- De telrij van 1,2 en 3 enzo zijn natuurlijke getallen, natuurlijke en negatieve hele
getallen zijn samen gehele getallen
Vanaf ongeveer 5 jaar: kinderen kunnen de telrij zingen of opzeggen, maar dit betekent nog
niet dat zij een hoeveelheid kunnen optellen. Hiervoor moeten ze ook tegelijk met het
opzeggen van de telrij voorwerpen kunnen aanwijzen ook wel synchroon tellen
- Synchroon telen is pas betekenisvol als zij de noodzaak zien om getallen goed op rij te
zeggen en tegelijkertijd voorwerpen aan te wijzen
- Voorbeeld is bijvoorbeeld bij een bordspel met pionnen, waarbij gelijktijdig met tellen
een beweging van de pion gemaakt moet worden → ondersteunt één-één relatie
- Kinderen zijn pas later toe aan object gebonden tellen: het tellen van een aantal
voorwerpen, zonder dat het voor het kind duidelijk is waarom er geteld moet worden
Synchroon tellen is de opstap voor resultatief tellen. Wanneer synchroon tellen op orde is ligt
resultatief tellen in de naaste ontwikkeling.
- Leerkracht kan het aanbieden door uitnodigende telactiviteiten die de gewenste
ontwikkeling verder stimuleren
- Het is hierbij handig om situaties te nemen waarin de hoeveelheid betekenisvol is
voor de kinderen (Bijvoorbeeld een verjaardagstaart) → goede context helpt bij het
ontwikkelen van het kerninzicht dat het laatste getal de hoeveelheid is
Kinderen leren verschillende functies van getallen kennen door er in het dagelijks leven en in
rijke leersituaties op school mee in aanraking te komen.
- Winkelspelletje op school waarbij er bijvoorbeeld 2 kilo appels en 2 kilo peren
gekocht worden en daar 1 en 2 euro is 3 euro voor betaald wordt. Het gewicht en de
prijs worden in meetgetallen uitgedrukt en het uitrekenen van de totale prijs doet
beroep op de rekenfunctie. Als ze willen weten of er meer appels of peren kunnen
zijn, kunnen ze de vruchten tellen → ordeningsfunctie en hoeveelheidsfunctie
