BKVP/VPBK samenvatting PABO jaar 2
Van Zanten, M, Van den Bergh, J., Van den Brom-Snijder, P. & Hutten, O.
(2014). Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen reken-
wiskundedidactiek. Amersfoort: ThiemeMeulenhoff
H1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Ze kunnen er verschillend uitzien maar je kunt er hetzelfde mee tot uitdrukking brengen (100 op de
4, ¼ deel, 25%, verhouding t.o.v. 1:4).
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Bij ieder domein kun je een relatef aspect onderscheiden (kommagetallendecimale breuken,
procenten+breukenverhoudingen aangeven).
Domeinen kennen ook elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit (kommageld,
kortngprocent).
In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaarbijv. om
getalsmatge informate weer te geven.
1.1.2 Absoluut en relatee
Absolute gegevens getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen (VB er
zitten 637 studenten op de PAABO).
Relateve gegevens verhoudingsmatge gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of
aantal aan kunt afezen (VB 1 op de 4).
Voor de zich ontwikkelde gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatef
van groot belang. Zonder kun je veel informate niet begrijpen.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen is het –vooral in het van
het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren helpt om het onderscheid te maken
tussen absolute en relateve gegevens duidelijk te houden.
1.2 Onderlinge relates
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met VPABK moeten kinderen greep krijgen op de
onderlinge samenhang tussen deze subdomeinen. In groep 7/8 leren ze ook om de domeinen door
elkaar heen te gebruiken. Hiervoor moet de leerkracht bewust aandacht besteden aan
betekenisverlening.
1.2.1 Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken
getallen, wordt er aandacht besteed aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Om de
samenhang te doorzien, is het nodig dat kinderen leren dat de domeinen in realiteit door elkaar
voorkomen. Ook leren ze de betekenissen van bewerkingen met verhoudingen en breuken te
doorzien (1/5 x 10 betekent ook wel 1/5 deel van 10, 1/5 is gelijk aan 1 gedeeld door 5).
,Zodoende leren ze ook onderlinge relates beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk
leren, alsof het losstaande feitjes zouden zijn gemakkelijk optredende misvatngen voorkomen.
Breuken en kommagetallen
Ze kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met elkaar overeen
allebei gebroken getallen notate verschilt kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op
breuken.
Hele getallen, kommagetallen en breuken ratonale getallen met verschillende notatewijzen.
Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als
kommagetallen tegenkomt als meetgetallen (kommagetallen vaker dan breuken).
Breuken kunnen genoteerd worden als kommagetallen om dit soort relates inzichtelijk te laten
afeiden, kun je naast het strookmodel ook gebruikmaken van de verschillende verschijningsvorm
meetgetal.
Een moeilijkheid hierbij is het gegeven dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Een manier om hier inzichtelijk
mee om te gaan, is het gebruik van verschillende ondermaten die de kinderen zelf kunnen
beredeneren (mdmcm).
Van breuk naar kommagetal
Wanneer je een breuk als 1/7 als kommagetal schrijf door de breuk op te vatten als een deling, kom
je tot de ontdekking dat de uitkomst van die indeling een bijzonder uiterlijk heef. Zonder
rekenmachine als volgt:
Hoeveel zevens gaan er in 1? 0,noteer een 0 en een komma. Over 1.
In 10? 1, over 3 in 30? 4 over 2 in 20? 2 over 6 in 60? 8 over 4 in 40? 5 over 5 in 50? 7
over 1.
Je vind de volgende sliert van decimalen die zichzelf herhaalt 0,142857142857. De breuk 1/7 heet
een repeterende breuk en d sliert 142857 heet het repetendum.
Van kommagetal naar breuk
Als de breuk niet repeteert is het eenvoudigbijv. 3,152 3 +1/10+5/100+2/1000 3 152/1000
3 5/64 je schrijf het als een tendelige breuk die je verder vereenvoudigt.
Bij een repeterende breuk als 0,461538461538 vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met
10 als het repetendum lang is in VB 6 keer vermenigvuldigen met 1000000 trek van de
uitkomst de gezochte breuk af, dan verdwijnen alle decimalen als sneeuw voor de zon wat
overblijf is 999.999 keer het gezochte getal met als uitkomst 461538 breuk 461538/999999 en die
vereenvoudigen tot 6/13.
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een
getal, hoeveelheid of prijs. De breuk geef hier een relatef gegeven aan.
,PAercentages geven altjd een relatef gegeven aan en is dus altjd een operator. Voorkom dat
kinderen denken dat 20% hetzelfde is als 1/5 of 20/100, want dit is niet altjd zo. Wel is het zo dat
20% van iets hetzelfde is als het 20/100 deel van iets of het 1/5 deel van iets.
Je moet dus voorzichtg zijn met het plaatsen van percentages op de getallenlijn tussen 0 en 1, alsof
het gebroken getallen zijn. De strook is geschikter om percentages te plaatsen en te ordenen, omdat
je daarop zo nodig ook de absolute gegevens kunt plaatsen.
1.2.2 Weetjes
Allerlei relates moeten uiteindelijk in de vorm van declarateve kennis beschikbaar zijn parate
feitenkennis (1/2=5/10=0,5=1:2 komt overeen met 50%) dit moet snel beschikbaar zijn zodat
kinderen ze fexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met BVPAK.
In de bovenbouw moet die kennis (voorkennis) van onderlinge relates vlot worden uitgebreid de
weetjes oefen je in al snel op formeel niveau, maar eerst ook nog modelondersteunend.
PAroductef oefenen produceren zelf opgaven (en weetjes).
H2 Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatge of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein)
wordt, het andere getal (of andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt.
Je bent bijv. met verhoudingen bezig als je wilt kijken welk product in verhouding goedkoper is. Naar
rato = naar verhouding. Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht
en inhoud. Verhoudingen maken het mogelijk zaken met elkaar te vergelijken.
Voorbeelden van verschijningsvormen van verhoudingen: sterkte van kofe, recepten, snelheid,
bevolkingsdichtheid.
Snelheid en bevolkingsdichtheid zijn voorbeelden van samengestelde grootheden. Een ander
veelvoorkomende verhouding is schaal. Het geef de verhouding aan tussen de weergaven van iets
en de werkelijke grootte ervan. Bij de formele schaalnotate noteren we beide getallen in dezelfde
maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding het totaal is op honderd gesteld. Bij niet
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn. Het is lastger om te vergelijken dan
procenten.
Het uitdrukken van zaken in verhoudingen helpt om informate letterlijk, maar ook fguurlijk in
verhouding te zien, ofewel op waarde te kunnen schatten.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informate over te brengen of om de aandacht te
trekken (reclame, cartoons, kunst).
Kwalitateeve en kwanttateeve everhoudingen
kwanttateve verhoudingen de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen (1 op de 3,
1:800). Kwalitateve verhoudingen wanneer er geen getal aan te pas komt, worden uitgedrukt in
woorden. Het is vaak een meetkundig verband.
, Het onderscheid tussen kwalitateve en kwanttateve verhouding zegt dus ook iets over hoe de
verhouding wordt waargenomen en tot uitdrukking wordt gebracht.
Interne en externe everhouding
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal
aan kan worden toegekend (1 op de 4 mensen, mensen is nu een eenheid). Als een verhouding één
grootheid of eenheid betref, spreek je van een interne verhouding (1 op de 4 studenten is jonge,
spoorbomen zijn 1 op de 10 min dicht). Een externe verhouding betref twee verschillende
grootheden (afgelegde afstand in een bepaalde tjd), ook wel samengestelde grootheden.
Verhoudingsdeling en everdelingsdeling
Bij delen kan een onderscheid worden gemaakt tussen een verhoudingsdeling en een
verdelingsdeling.
Bij een verhoudingsdeling kun je denken aan het volgende 12 snoepjes, hoeveel groepjes van 4?
Bij verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde: 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes). Het gaat
dus om de (interne) verhouding van het deel t.o.v. het geheel.
Een verdelingsdeling 3 kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel elk kind? Bij de verdelingsdeling
representeren deeltal en deler elk iets anders: 12 (snoepjes) : 3 (kinderen).
Merk op dat bij de verdelingsdeling het verhoudingsgewijs denken een rol kan spelen. Het aantal
snoepjes per kind is feitelijk een externe verhouding
Lineair everband
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafek een rechte lijn. Gaat die
grafek door de oorsprong, dan is het verband een evenredig verband ofwel een verhouding.
2.1.2 Niet-evenredige verbanden
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding.
Verhoudingsgewijs redeneren alles evenveel vergroten of verkleinen.
Wanneer iets twee keer zo groot wordt, wordt de lengte verdubbelt. De oppervlakte wordt in 2
richtngen verdubbelt, dus 4 keer zo groot. De inhoud wordt in 3 richtngen verdubbelt, dus 8 keer zo
groot. Het woord meer duidt op additeve betekenis, terwijl het woord keer in een multplicateve
context past.
Er zijn nog verbanden die wel evenredig maar toch geen verhoudingen zijn: omgekeerd evenredige
verbanden (VB verband tussen snelheid en tjd, hoe sneller je gaat hoe korter je er over doet).
2.1.3 Bijzondere verhoudingen
De gulden snede
De gulden snede is een verhouding die sinds de 17 e eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de
mooiste verhouding die bestaat goddelijke verhouding. Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt
dat de verhouding van het kleinste deel t.o.v. het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het
grootste deel tot het hele lijnstuk, heb je de gulden snede te pallen. Bij 1m is dat 38,2 en 61,8 cm.
Een veel gebruikte benadering voor de gulden snede is 0,618. Het precieze verhoudingsgetal wordt
aangeduid met phi ф.
