Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Ze zien er anders uit, maar betekenen hetzelfde
25% ¼ 1 op de 4 0,25 1:4 1:3
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Bij ieder domein kun je een relatef aspect onderscheiden Kommagetallen zijn decimale
breuken en kunnen een verhouding aangeven bij breuken en procenten.
Breuk = deel van het geheel
Procent = deel van de 100
Ieder domein kent zijn eigen gebruik en verschijningsvorm
1.1.2 Absoluut en relatef
Absolute gegevens verwijzen naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen
Relateve gegevens zijn verhoudingsmatge gegevens welke je niet als daadwerkelijk getal af
kan lezen.
Voor de gecijferdheid is het verschil tussen absoluut en relatef van groot belang! Dit kan je
bijvoorbeeld inzichtelijk maken door middel van het strookmodel.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar gaan halen is het
verstandig getallen benoemd te noteren. Bv 230 euro in plaats van alleen 230.
1.2 Onderlinge relates
Besteed als leerkracht aandacht aan betekenis van getallen.
1.2.1 Begrip
Breuken en kommagetallen
Breuken en kommagetallen kennen overeenkomsten en verschillen
o Overeenkomst: het zijn beide gebroken getallen
o Verschil: de notate is anders
, Hele getallen, kommagetallen en breuken zijn ratonele getallen met een notateverschil
Breuken en kommagetallen kunnen meetgetallen zijn
Een manier om breuken en kommagetallen als kind niet door elkaar te halen is door
ondermaten te gebruiken, waarmee kinderen zelf kunnen redeneren.
Van breuk naar kommagetal
Wat is 1/7e in een kommagetal?
Hoeveel zevens passen er in 1? 0 over 1 (10) -> 0
Hoeveel zevens passen er in 10? 1 over 3 (30) 0,1
Hoeveel zevens passen er in 30? 4 over 2 (20) 0,14
Hoeveel zevens passen er in 20? 2 over 6 (60) 0,142
Hoeveel zevens passen er in 60? 8 over 4 (40) 0.1428
Hoeveel zevens passen er in 40? 5 over 5 (50) 0.14285
Hoeveel zevens passen er in 50? 7 over 1 (10) 0.142857
Nu wordt er weer gestart bij 10 en blijf het doorgaan.
1/7 is dus een repeterende breuk (herhalende breuk) 0,142857142857
Het stukje dat zich herhaald 142857 is het repetendum
Van kommagetal naar breuk
Niet repeterende breuk.
o Wat is het kommagetal 3,152 als breuk?
o 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000
o Maak de breuken gelijk 3 + 100/1000 + 50/1000 + 2/1000
o Tel de breuken bij elkaar op 3 152/1000
o Maak 152/1000 kleiner 19/125
o De breuk die bij 3.152 hoort is dus 3 19/125
Repeterende breuk
o Wat is het kommagetal 0.461538461538 als breuk?
o Wat is het repeterende stukje? 461538
o 461538 heef 6 cijfers.
o Je wil de breuk weten dus je gaat standaard uit van 1.
o Achter die 1 plak je het aantal nullen dat het repetendum waard is. het repetendum
is 6 cijfers waard, dus achter de 1 omen 6 nullen 1 000 000
o Omdat je wilt weten dat de breuk 1 is, haal je van de 1 000 000 er 1 af. 999 999
o De beuk die je nu krijgt is 461.538/999.999
o Je vereenvoudigd de breuk (delen door 76923) 6/13
o De breuk die bij 0.461538 hoort is dus 6/13
Breuken en procenten
Een breuk is een absoluut getal als je die kan weergeven als punt op de getallenlijn
Een breuk als operator doet iets met een ander getal
Een percentage is altjd relatef operator.
1.2.2 Weetjes
Alle relates moeten als declarateve kennis (feitenkennis) beschikbaar zijn.
Eerst modelondersteunend, daarna formeel
, Productef oefenen is belangrijk! Leerlingen bedenken zelf een opgaven.
Begrippenlijst hoofdstuk 1
Absoluut gegeven Getallen die naar daadwerkelijke getallen verwijzen
Absoluut getal Kan je weergeven op de getallenlijn
Benoemd getal Dat wat het getal is bijvoorbeeld euro
Declarateve kennis Parate kennis
Formeel niveau Rekenen met cijfers, zonder ondersteunend model
Gecijferdheid Vermogen om te kunnen rekenen
Getalsmatge informate De getallen die bijvoorbeeld in een krantenbericht genoemd
worden en dus informate geven.
Meetgetal De getallen waarmee je iets kan meten
Modelondersteunend Rekenen met behulp van een model
Notate De manier waarop iets wordt opgeschreven 0.25 of 25% of ¼
Ondermaat Een maat die leerlingen weten (bv. 1000 ml = 1 L of 1000 m = 1
km)
Operator Doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs (bv procent)
Parate feitenkennis Declarateve kennis
Productef oefenen Kennis gebruiken die er al is, nadenken over leerinhouden en dit
oefenen
Punt op de getallenlijn Absoluut getal
Ratonaal getal Elk heel getal
Rekengetal Getal waarmee gerekend wordt
Relatef aspect Kommagetallen zijn decimale breuken en breuken & procenten
kunnen allebei een verhouding aangeven
Strookmodel Model om absolute en relateve getallen duidelijk te maken
Verschijningsvorm De manier waarop een getal genoteerd wordt, als breuk, procent
of kommagetal.
,Hoofdstuk 2 Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
Verhoudingsgewijs redeneren Pieter eet meer dan zijn kleine broertje, omdat Pieter
groter is.
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatge of
meetkundige beschrijvingen.
Een evenredig verband betekent dat het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt dan
het andere getal.
Naar verhouding (= naar rato)
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden
Een veel voorkomende verhouding is schaal. De schaalnotate is bijvoorbeeld 1:100
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informate over te brengen of om de aandacht
te trekken.
Kwalitateve en kwanttateve verhoudingen
‘1 op de 6 Nederlandse kleuters is de zwaar’ of ‘deze kaart heef een schaal van 1 : 80 000’. =
kwanttateve verhouding: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Bij kwalitateve verhoudingen komen er geen getallen aan te pas. ‘de schoenendoos is naar
verhouding groot’.
Een kwalitateve verhouding is vaak een meetkundig verband.
Een meetkundig verband is altjd kwalitatef.
Interne en externe verhoudingen
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden.
Als de verhouding gaat over één grootheid heb je een interne verhouding. (1 op de 4
studenten is een jongen)
Als de verhouding over meerdere grootheden gaat, spreek je van een externe verhouding
(kilometer per uur / prijs per kilo)
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij een verhoudingsdeling gaat het om de (interne) verhouding tussen deel ten opzichte van
het geheel. Ik heb 12 snoepjes, in elk groepje komen 4 snoepjes. Hoeveel groepjes maak ik?
Bij een verdelingsdeling gaat het om een (externe) verhouding tussen twee grootheden. Ik
heb 12 snoepjes en 3 kinderen, hoeveel snoepjes krijgt ieder kind (snoepjes per kind).
Lineair verband
Een lineair verband is een verband tussen twee grotheden dat als grafek een rechte lijn
heef. Er is dan ook spraken van een evenredig verband.
2.1.2 Niet-evenredig verband
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus geen verhouding.
, Het woord ‘meer’ (iets is vier keer meer) duid op een additeve betekenis (het is een
toevoeging ergens aan).
Het woord ‘keer’ (iets is vier keer zo veel) duid op een multplicateve context (het gaat om
verlenging/herhaling van een handeling)
2.1.3 Bijzondere verhoudingen
De gulden snede is de mooiste verhouding die er bestaat phi ф 0,618
Als je de omtrek van een cirkel deelt door de diameter krijg je pi 3,1415926
Beide zijn irratonele getallen worden niet als kommagetal gezien, ondanks dat er wel een
komma in zit.
Rij van Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 (‘Als je twee termen optelt, krijg je de volgende
term).
2.1.4 Wiskundetaal bij verhoudingen
Formele verhoudingentaal is: 1 op de 4, 1 op 4, 1 staat tot 4
Naar verhouding
2.2 Verhoudingen op de basisschool
2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen
Informeel handelend en Kwalitateve verhoudingen Groep ½
redeneren Kwantfceren van Groep 3
verhoudingen
Modelondersteunend Eenvoudige contexten met Groep 4
redeneren en rekenen in vermenigvuldigen en delen
contextsituates
Modelondersteund en formeel Complexere contexten en Groep 5
redeneren en rekenen getallen
Formele verhoudingentaal
Relate met breuken Groep 6
Procenten Groep 7
Informeel handelen en redeneren
Het gaat om kwalitateve verhoudingen: zichtbare verschillen in groote, afstand, enz.
Later worden verhoudingen gekwantfceerd: er wordt een getal aan toegekend.
redeneren en rekenen met kwanttateve verhoudingen (=getalsmatge verhoudingen)
Modelondersteunend redeneren en rekenen in contextsituates
Eerlijk verdeelsituates die kunnen worden opgelost door vermenigvuldigen.
De tafels beginnen hier dus mee.
Toepassingssituates met verhoudingen die in het echte leven voorkomen worden nu
gebruikt als context.
Modelondersteunend en formeel redeneren en rekenen
Verhoudingen worden vooral als toepassingssituate aangeboden.
