Tentamen (uitwerkingen)
Lineaire Algebra, 4 oude tentamens + uitwerkingen
- Vak
- Lineaire Algebra
- Instelling
- Technische Universiteit Eindhoven (TUE)
Bevat 4 oude tentamens + uitwerkingen van het vak Lineaire Algebra.
[Meer zien]Voorbeeld 3 van de 24 pagina's
Voorbeeld 3 van de 24 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
1Lineaire Algebra, 2DD12, Tentamen 11 Januari 2008
Het tentamen bestaat uit 13 onderdelen verdeeld over 8 opgaven. De puntenverdeling is als volgt:
1 2 3a 3b 3c 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8
10 10 10 5 5 10 10 5 5 5 5 10 10
Dus in totaal kunnen maximaal 100 punten gehaald worden. Het resultaat zal verkregen worden door
het totaal aantal punten door 10 te delen.
Laat telkens duidelijk zien hoe je aan je antwoord bent gekomen, behalve als er aangegeven
wordt dat dit niet hoeft. Een antwoord ZONDER UITLEG wordt als een gok beschouwd en
daarom NIET GOED gerekend en levert dus 0 punten op.
Opgave 1. Gegeven een matrix A. Bepaal of de verzameling oplossingen van het homogene stelsel
lineaire vergelijkingen Ax = 0 alleen de triviale 0-oplossing is, of een lijn door de oorsprong, of een
vlak door de oorsprong. Als het een lijn is geef dan de parametrische beschrijving van die lijn. Als
het een vlak is geef dan de lineaire vergelijking van dat vlak.
1 0 1
A = 2 1 3 .
2 1 4
Opgave 2. Gegeven een matrix A. Bepaal of de verzameling oplossingen van het homogene stelsel
lineaire vergelijkingen Ax = 0 alleen de triviale 0-oplossing is, of een lijn door de oorsprong, of
een vlak door de oorsprong. Als het een lijn of een vlak is geef dan de parametrische beschrijving
van die lijn of dat vlak.
1 −2 3
A = 2 −4 6 .
2 −4 6
Opgave 3. Gegeven twee vectoren
2 −3
v1 = 1 en v2 = 0 ,
0 1
en een punt P = (1, 1, 1).
3a. Geef een lineaire vergelijking van het vlak dat opgespannen wordt door de twee vectoren en door
het punt P gaat.
3b. Geef ook de lineaire vergelijking van het vlak dat evenwijdig is aan het vorige vlak maar door het
punt Q = (1, −3, 4) gaat. Hint: Als je bij onderdeel 3a. het vlak niet uit hebt kunnen rekenen, kan
je voor dit en voor het volgende onderdeel toch de punten halen door een (willekeurig) vlak bij 3a. te
nemen (wat wel door P gaat natuurlijk).
3c. Bereken de afstand tussen deze twee vlakken.
,2
Opgave 4. Bereken de inverse van de matrix
1 0 1
A = 2 1 3 .
2 1 4
Opgave 5. Gegeven het stelsel lineaire vergelijkingen:
2x1 + x2 = 3
−3x1 + x3 = 4
αx1 − x2 − x3 = −7
Bepaal voor welke waarden van α het stelsel geen oplossing oplossing heeft, voor welke waarden
van α het stelsel een unieke oplossing heeft, voor welke waarden van α de oplossingen van het stel-
sel een 1-dimensional ruimte vormen en voor welke het van α de oplossingen van het stelsel een
2-dimensionale ruimte (een vlak) vormen. Geef de oplossing of oplossingen verzamelingen in de
gevallen dat er oplossingen zijn.
Opgave 6. Gegeven een verzameling vectoren
2 −3 1 0 4
v1 = 1 , v2 = 0 , v3 = 1 , v4 = 3 , v5 = 2 .
0 1 1 4 1
6a. Vormen v1 , v2 , v3 en v5 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
6b. Vormen v1 , v2 en v3 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
6c. Vormen v2 , v3 en v4 een basis voor de IR3 ? Motiveer je antwoord.
Opgave 7. Gegeven is de matrix
1 2 3 1 0
−3 −6 −12 1 2 .
A= 1 2 0 5 2
−2 −4 −3 −6 −2
Na toepassen van Gauss (vegen met de rijen) heeft A de gereduceerde driehoeksvorm
1 2 3 1 0
0 0 1 −4 −2
R= 3 3 .
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
7a. Geef aan wat de dimensie is van de (i) kolomruimte van A, (ii) de rijruimte van A en (iii) de
nulruimte van A. Dit mag je zonder uitleg doen.
7b. Geef bij ieder van de in onderdeel 5a. genoemde deelruimten een basis.
Opgave 8. Gegeven de matrix
1 0 0
A = 2 1 0 .
2 1 4
Ga na of deze matrix diagonaliseerbaar is.
, 1
A NTWOORDEN VAN TENTAMEN L INEAIRE A LGEBRA 11 JANUARI 2008
Opgave 1. Met behulp van Gauss-Jordan:
1 0 1
2 1 3
2 1 4
Trek 2× rij 1 van rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 0 1
0 1 1 .
0 1 2
Trek 1× rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 0 1
0 1 1 .
0 0 1
Dus Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing.
Opgave 2. Met behulp van Gauss-Jordan:
1 −2 3
2 −4 6 .
2 −4 6
Trek 2× rij 1 van rij 2 en van rij 3 af. Dit geeft
1 −2 3
0 0 0 .
0 0 0
Dus de oplossingen van Ax = 0 worden gegeven door te nemen x2 = s,x3 = t en dan wordt
x1 = 2s −3t. Ofwel, de parametrische voorstelling van het vlak wordt gegeven door
x1 2 −3
x2 = s 1 + t 0 .
x3 0 1
Opgave 3a. We bepalen de normaalvector van het vlak als de vector die loodrecht staat op v1 en
v2 , dus de vector n die de eigenschap heeft dat n • v1 = 0 en n • v2 = 0. Dit geeft het stel-
sel lineaire vergelijkingen:
2n 1 + n 2 = 0
−3n 1 + n3 = 0
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper TUETechnischeBedrijfskunde. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67474 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen