Samenvatting Statistische Modellen 1
Hoofdstuk 4
4.4 Steekproefverdelingen beschrijven hoe statistics variëren
Kansverdelingen vatten de waarschijnlijkheden van mogelijke uitkomsten van een variabele
samen. We gebruiken steekproeven om uitspraken te kunnen doen over de parameters en de
bijbehorende verdelingen.
Een simulatie kan ons vertellen hoe goed een steekproef overeenkomst met de populatie.
Het representeren van steekproefvariatie door een steekproevenverdeling
In een voorbeeld van stemgedrag van Nederland tijdens de verkiezingen is kiezersvoorkeur
een variabele, wat kan variëren onder de stemmers. Hierdoor is ook de sample proportie
stemmend voor een bepaalde kandidaat een variabele. Wanneer er meerdere random samples
worden geselecteerd, is er een te verwachten variatie in de waarden van de sampling
proporties.
Een steekproefverdeling is de waarschijnlijkheidsverdeling die aantoont welke mogelijke
waarden de statistic kan aannemen. Elke sample statistic heeft een steekproevenverdeling. De
steekproefverdeling kan zijn van: het gemiddelde, de mediaan, de standaarddeviatie, etc. Een
steekproefverdeling gaat niet over individuen, maar over het berekenen van de mogelijke
waarden van observaties. Een steekproefverdeling is belangrijk in de inferentiële statistiek
omdat het ons de mogelijkheid biedt om te schatten hoe dicht de statistic ligt bij de geschatte
parameter.
Repeated Sampling Interpretation of Sampling Distribution
Steekproefverdelingen laten de variatie in steekproeven zien wat voorkomt bij het verzamelen
van data. Een steekproefverdeling van een statistic gebaseerd op n observaties is de relatieve
frequentie verdeling voor het statistisch resultaat van het herhaaldelijk trekken van
steekproeven met de grootte n, waarbij elke keer de statistische waarde wordt berekend.
Herhaaldelijke steekproeftrekking is echter meestal niet nodig. Dit is vaak theoretisch te
achterhalen.
4.5 Steekproefverdelingen van steekproefgemiddelden
Wanneer data wordt geanalyseerd en het steekproefgemiddelde vinden ( ý), weten we niet hoe
dicht deze bij het populatiegemiddelde (μ)) ligt, omdat we de waarde μ) niet weten. Door
gebruik te maken van informatie over de spreiding van de steekproefverdeling, kunnen we
een schatting maken hoe dicht het bij μ) ligt.
In deze paragraaf leren we twee hoofdresultaten over de steekproefverdeling van het
steekproefgemiddelde. Eén voorziet formules over de spreiding van de steekproefverdeling.
De ander omschrijft de vorm.
Gemiddelde en Standaarderror van een steekproefverdeling van ý
Het steekproefgemiddelde is een variabele, omdat de waarde varieert van steekproef tot
steekproef. Voor random samples fluctueert dit rond het populatiegemiddelde (μ)). In feite is
het gemiddelde van de steekproefverdeling van ý gelijk aan het populatiegemiddelde.
De spreiding van steekproefverdeling van ýwordt beschreven als de standaarddeviatie, wat
wordt beschreven als de standaardfout van ý. De standaarddeviatie van een
steekproefverdeling wordt genoteerd als σ ý Dit omschrijft hoe het steekproefgemiddelde
1
,varieert van steekproef tot steekproef. De standaardfout zal na een grote hoeveelheid
steekproeven gelijk zijn aan de standaarddeviatie.
Je hoeft geen grote hoeveelheid steekproeven te trekken om de standaardfout te vinden, want
y
=
y
hier is namelijk een formule voor. Deze formule betreft: n
Wanneer de standaardfout bekend is kan je de volgende vraag beantwoorden: Als de helft van
de populatie heeft gestemd voor een kandidaat, hoe veel zou de dan steekproefverdeling
variëren van steekproef tot steekproef.
Een steekproefverdeling is klokvormig, dus valt het overgrote deel binnen drie
standaarddeviaties van het gemiddelde. De eenheden die hierbuiten vallen worden ook wel
uitbijters genoemd.
Effect van steekproefgrootte op steekproefverdelingen en de precisie van
schattingen
De standaardfout wordt kleiner als de steekproefgrootte toeneemt. De reden hiervoor is dat de
noemer in de formule van de standaardfout groter wordt, doordat n toeneemt. Door het
vergroten van de steekproef wordt de steekproefverdeling smaller, waardoor de
steekproefproportie dichter bij de populatieproportie komt te liggen.
Steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde is ongeveer normaal
Waarom een steekproefverdeling klokvormig is valt te verklaren aan de hand van de centrale
limiettheorie. Deze theorie houdt in dat voor random steekproeftrekkingen met een grote n,
de steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde ý ongeveer normaal verdeeld is.
Enkele implicaties en interpretaties van dit resultaat:
- De waarschijnlijke normaliteit van de steekproefverdeling geldt altijd, ook als de
verdeling van de populatie niet klokvormig is.
- Hoe groot n moet zijn om de steekproefverdeling klokvormig te laten zijn hangt af van
de scheefheid van de populatieverdeling. Meestal is een steekproefgrootte van 30
voldoende (al is het niet groot genoeg voor precieze inferentie).
- De centrale limiet theorie kan worden bevestigd door het trekken van vele
steekproeven.
- Wetend dat de steekproefverdeling van ýongeveer normaal is helpt ons de kans voor
de mogelijke waarden van ýte vinden.
Hoofdstuk 5
5.1 Punt- en intervalschatting
Er zijn twee typen schattingen voor de parameters:
- Een puntschatting is een enkel nummer dat de beste schatting is voor de parameter
o Voorbeeld: De proportie van de Amerikaanse bevolking die gelooft in leven na
de dood is 0,70
- Een intervalschatting is een interval van nummers rondom de puntschatting, waarin
de parameter waarschijnlijk zal liggen.
o Voorbeeld: De proportie van de Amerikaanse die bevolking gelooft in leven na
de dood ligt tussen de 0,65 en de 0,75
Hierbij is de margin of error 0,05, want de puntschatting is 0,70
Wanneer het woord schatting wordt genoemd gaat het meestal over een puntschatting, wat
wijst naar een waarde. Een schatter verwijst naar een statistic waar de parameter mee kan
worden geschat (bijv: steekproefproportie).
2
,Puntschatting van parameters
Een parameter heeft veel verschillende mogelijke schatters. Voor een normaalverdeling zijn
het gemiddelde en de mediaan het centrum.
Unbiased en efficiënte puntschatters
Een goede schatter heeft een steekproefverdeling die (1) ligt rond de parameter en (2) die een
zo klein mogelijke standaardfout heeft.
Een schatter is unbiased als de steekproefverdeling ligt rond de parameter. Meer specifiek, de
parameter is gelijk aan het gemiddelde van de steekproefverdeling. De verschillende
gemiddelden van de steekproeven heffen elkaar op waardoor het gemiddelde van de
steekproefverdeling rond de parameter ligt.
Een biased schatter over- of onderschat de parameter.
Wanneer je bang bent voor uitbijters kan je beter kijken naar de mediaan dan naar het
gemiddelde. De mediaan is in dit geval lager dan het gemiddelde en die is weer lager dan het
populatiegemiddelde. De mediaan is een biased schatter van μ). Wanneer je uitbijters
verwijdert, kun je beter het gemiddelde gebruiken.
Je kan het beste de schatter gebruiken met een zo klein mogelijke standaardfout, wat wordt
gezien als efficiënt.
Een goede schatter is dus unbiased en efficiënt.
Schatters van het gemiddelde, de standaarddeviatie en de proportie
Voor de steekproef standaarddeviatie wordt het symbool s gebruikt. Het dakje ‘^’ over een
parameter wordt vaak gebruikt om een schatting van de parameter aan te geven. De geschatte
parameter is dus ^μ.
Betrouwbaarheidsinterval is puntschatting ± Margin of error
Om volledig informatief te zijn over de parameter is het van belang niet alleen een
puntschatting te geven, maar ook een schatting van hoe dicht de schatting waarschijnlijk bij
de parameter ligt. De informatie over de precisie van de puntschatting bepaalt de breedte van
een intervalschatting van de parameter.
Een betrouwbaarheidsinterval voor een parameter is een interval aan nummers waarbinnen
de parameter hoogstwaarschijnlijk valt. De waarschijnlijkheid dat met deze methode de
parameter in het interval valt heeft het betrouwbaarheidsniveau. Dit is vaak een nummer
tussen 0 en 1, bijvoorbeeld 0,95.
Meestal is de steekproevenverdeling redelijk normaal. De normaalverdeling bepaald
vervolgens de waarschijnlijkheid dat de schatter binnen een bepaalde afstand van de
parameter ligt. Bij een 95%-BHI valt de schatter binnen 2 standaarddeviaties van het
gemiddelde. Hoe kleiner de standaardfout, hoe meer precies de schatter zal zijn.
Om een betrouwbaarheidsinterval op te stellen voegen we een kritieke waarde toe aan de
margin of error.
Een betrouwbaarheidsinterval heeft de vorm puntschatting ± margin of error,
met als formule ^π ± z
√π^ (1−^π )
n
.
De formule voor margin of error is: z
√ π^ (1−^π )
n
, waarbij z de kritieke waarde is, en de rest
de standaardfout. Je vermenigvuldigt hier dus de z-waarde met de standaardfout.
3
, 5.2 Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie
Categoriale data is nominaal of ordinaal. Om deze data te kunnen samenvatten maken we
gebruik van proporties (of percentages).
De steekproefproportie en zijn standaardfout
De populatieproportie wordt genoteerd als π, welke valt tussen 0 en 1. De puntschatting is de
steekproefproportie. De steekproefproportie wordt genoteerd als ^π .
De standaarddeviatie van de waarschijnlijkheidsverdeling is σ =√(1−π ). Omdat de formule
voor standaardfout van een steekproefgemiddelde gelijk is aan σ ý =σ / √ n, is de standaardfout
√
σ ^π van de steekproefproportie ^π , σ ý = σ = π (1−π ) .
√n n
Wanneer de steekproefgrootte toeneemt, wordt de standaardfout kleiner De
steekproefproportie valt dan dichter bij de populatieproportie.
Grote-steekproef betrouwbaarheidsinterval voor proporties
Omdat de steekproefproportie ^π een steekproefgemiddelde is, is de centrale limiet theorie van
toepassing.
Het waarschijnlijkheidsinterval bij een 95% bhi is ^π ±1,96σ ^π ¿1,96(se)). In de werkelijkheid
is de waarde voor de standaardfout van π onbekend, omdat het afhangt van de onbekende π.
Daarom schatten we deze standaardfout door de steekproefproportie te gebruiken:
se=
√ ^π (1− π^ )
n
.
De letter s wordt gebruikt om de steekproefstandaarddeviatie aan te geven, wat de populatie
standaarddeviatie σ schat. Se wordt gebruikt om de steekproefschatting van de standaardfout
aan te geven.
Voorbeeld:
In 2006 is in Amerika een poll afgenomen over de stelling: ‘ Is het geschikt om
staatsoverheden wetten te laten invoeren om abortus tegen te gaan?’. Deze stelling werd aan
1200 mensen voorgelegd, waarvan 396 ja en 804 nee als antwoord gaven. De proportie
voorstanders is 396/1200=0,33, de proportie tegenstanders is 1- ^π = 0,67. De geschatte
standaardfout is se=
√ 0,33(0,67)
1200
=0,0136.
Het 95% betrouwbaarheidsinterval is dan 0,33 ± 1,96(0,0136).
Dit geeft een 95%-BHI van [0,30;0,36], voor de voorstanders.
Wil je BHI van de tegenstanders berekenen, dan vul je de se formule als volgt in
se=
√ 0,67 (0,33)
1200
=¿0,0136. Beide hebben uiteindelijk dus dezelfde standaardfout
4
