Overig
Spiekbrief tentamen 1/2
- Instelling
- Technische Universiteit Eindhoven (TUE)
Dit is het eerste deel van de spiekbrief. Deze spiekbrief bevat alle nodige theorie, formules en tentamenopgaven.
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Gekoppeld boek
Titel boek:
Auteur(s):
- Uitgave:
- ISBN:
- Druk:
1 beoordeling
Door: maxgoessens • 2 jaar geleden
Voorbeeld van de inhoud
Reliability Exponential− λt
Weibull
t
Gamma
β P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )
R ( t )=P(T ≥ t) R ( t )=e β t β −1 − ( )f ( t )= t γ−1 ∗α−γ∗e −tα P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )−P (
T= time to failure
F ( t )=1−R (t)
F ( t )=1−e−λt
λ ( t )= ( ) , R ( t )=e
θ θ Γ ( y)
θ
P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )−P ( A
f ( t )= λe− λt
β
() β −1 − t t P ( A ∩B )=P ( A )∗P ( B )
F ( 0 )=0 β t
f ( t )= ( ) e I( ,γ)
θ
1 α P ( A|B )=P( A ∩ B)/ P ( B )
lim F (t )=1 MTTF= , θ θ F ( t )=
λ Γ (γ )
→∞
d −d 2 1 MTTF=θΓ ( 1+ )
1
t
∫ f ( x ) g ' (x )dx=¿ ¿
f ( t )= F ( t )= R ( t )σ = 2 β f ( x ) g ( x ) −∫ g ( x ) f ( x ) dx
a
dt dt λ t
1I ( α , γ )=∫ y
γ−1 −y
t 2 ∗e dy 2 Binominaal
R(t ¿¿ u)=e− λt =u ¿ u
σ =θ ( Γ ( 1+ ) −( Γ ( 1+ ) ) )
2 2
F ( t )=∫ f ( t ' ) dt ' p ( x )= n p x (1− p)n−x E ( X )=
0 t u=
−1
ln ( R)
β
Τ ( x )=( x−1)Γ ( x−1)
β
met y=
t '
0
x ()
∞ λ α n= n!
R ( t )=∫ f ( t ' ) dt '
t
R ( t|T 0 ) =R ( t )
(memoryless)
t =θ (−ln ( u ) )
u
1
β x x ! ( x−n ) !
Data collective t , t ,…, t represents the time of failure of the i unit. The sample
1 2
represents n ind. Values, thus the joint prob: f(t )*f(t )*…*f(t )
n ()
1 2 n
th
P ( a ≤T ≤b )=F ( b )−F ( Failure
a ) modes 1 1
Single censored data: all units have the same test time, test is concluded before all
n t mode=θ (1− ) β for β>1
units have failed (on the left: failures are known to occur before a certain time, on the
R ( t ) =∏ R i ( t ) β right: failures are known to be only after a certain time).
¿ R ( a ) −R ( b ) i=1 ¿ 0 for β ≤ 1
Type I: testing is terminated after a fixed time (t*)
Type II: testing is terminated after a fixed #failures (t ) r
b n
0< β <1 → DFR (Beta = Multiple censored data: testtimes differ among censored units. Censored units are
¿ ∫ f ( t ) dt λ ( t )=∑ λi (t ) shape par.) removed or gone into service at various times from the sample.
Ungrouped complete data: als n aantal failures zijn in een random sample, dan zijn
a i=1 β=1 →CFR (Theta = het aantal surviving units op tijd ti gelijk aan n-i.
R(t ¿¿ u)=u , R(t ¿¿ med)=0.5 ¿ ¿ Two parameter scale/char. life) Grouped complete data: failure times zijn vervangen door intervallen. De individuele
∞ −d β >1→ IFR
R ( t ) ¿ λe−λ(T−t ) observatie is niet beschikbaar, nk zijn het aantal units dat survived op tijdstip tk.
f ( t )= 0
MTTF=E [ T ] =∫ tf ( t ) dt dt Failure modes UGCensoredD product estimator GCensoredD product estimator
0 (0< t 0 ≤T <∞)
k
β t β −1 n+2−i F i=¿ failures ith interval
R ( t i−1 ) HJ =
∞
∫ R(t )dtdata
¿UGComplete Dynamic models
λ ( t )= ∑
i=1 θi θ i
( ) ^
^
R t
n+1 C i=¿ removals( censors) ith
H i=¿ at risk at time t i−1
0 i i
Periodic loads
Als λ ( t ) zijn identiek: ( i )HJ n+ 1−i
R KM ( t i ) =n− =1− Rn =R n
^ =
n n Random loads nβ t β −1
R ( t i−1 ) HJ n+ 2−i
^ H i=H i−1−F i−1−C i−1
F KM ( t i )=1−R
^ ^ ( t i ) = i −k ∞ n
Constant strength k Constant stress s
−s
∞
λ ( t ) =
n
Random stress & strength
θ n eθ−αt −(1−R ) αt ^
μ
() 1 R ( t ) =
n+ 1−i ^
R ( t ) H
'
i =H i −
Ci
, adjusted ¿ risk
n R ( t ) =∑ R Pn (t )=∑ R ( αtR=
Exponential
Dit klopt niet want n/n=1
R=1−exp ( )
μ x n=0
R=exp
μn=0 ( ) ) −n t =e
x R ( t ) =e μ x + μ y
En n (!θ )
y
=
1+ μ x /μ
β Statici HJ models
n+ 2−i i−1 HJ
X is de stress, Y is de strength (capaciteit). De kans dat de stress niet
If censoring
y rather than failure
^
(assuming that censors occur
uniformly)
x
2
Improved by Johnson
B ThreeB parameter ( Takes place at t : R P ¿ ( X ≤ x )i
=F x F i ∫ f x x dx '
( x ) = ( ')
k s groter is dan x:
i Random
[( )]fixed stress and
[( )]
x y '
F Weibull
^ HJ ( t i) =
R=1−exp strenght − R=exp − t 0 is minimumlife ¿
Met getallen oplossen δ =1 if failure occurs at t i ' : the 0 conditional prob of failure
n+1 θ −αtθ β
H
R t =R+(1−R) e
( ) x y
−(
t −t
) μ −μ 0 De kans dat de capaciteit niet groter is dan
y
y:
i
i n+1−i R (yt )=e θ
= k −μx s−μ in '
R HJ ( t i ) =1−
^ 0 ifP censoring occursat t
Normal
− ^
R (
R=Φ n+1
n+1
t )−
( )
σ
^ ( t i )x
R
R=1−Φ
σ λy( t )=
( ) ( )
β
R=Φ( β−12 2 )
t−t
y
√State-dependent
0 σ +σ
x
x
y
^
R t
Static
( Y ≤ y )=F y ( y )=∫ f yi ' (The
=¿
( i )HJreliability: kans dat de stress nietpgroter 0
y ith ) dyinterval
=1−
' given survival to t
Fi
is dan decond strength. . prob of su
t-1
^f HJ ( t i )= i +1 θ θ ln (m / m ) ^ R
systems
(
Bij0 ) =1
random
with repair
stress en constant strength:
i
H '
t i+1−t i1 ln k 1 s
th
Identical standby units time to k failure
¿
Lognormal
1
R=Φ
s ( ( ))
x m x
R=1−Φ
s y
ln
m ( ( )) (
y
R=Φ d P21y(t )2=−2
s
√ dtx y + s
x
Kolom
KolomR=
λ P
1:
2: t
k
t
f)
i’s((aantal
) +
( x
∫ x R ( t )Grouped
1 r
failure+censor)
Parallel
P
failures)
dx=F
2
i
(t )
Configuration
times
=1− x (k )
∏
n
R
Complete
+
R(1−R
^ (
k= 1− t ) =e
i data ( t )) '(i=0
−F λt
(
i
k−1
∑
i
∗R
( λt )i
^i!i−1, MTTF=
independent ) )
(t i+1−t i )(n+1) d P2 (t ) 0 S
Hoe standby/ switching failure sommen i Hconfiguration
^ uitwerken:
i switching failures
=2 λ P1 ( t )−(r + λ) P^2 (t )∞ n∞iKolom i=1 Standby Combined system f ( t(ti ) , t ) ni−ni +1
with
^ dt R ( t i )= d, ^λk-out-of-n t1:i )=interval
^λ HJ ( t i) = f ( t ) = 1 ( redundancy = i-1 i
MTTF MTTF= System= ∫ R ∫n ( R
t
Kolom ) P(
dt t )
2:
1 dt
(
for t )
#failures^
=−¿
Rtwo (nt F) ( t i+1−tin−
component )∗n (exp
Ri k (1−R) k i
d P3 (t )
R
^ (t ) ( t i +1−t i ) ( n+ 1−i )
n
t dt
=λ P2 ( t )
∀ t , tϵ∞[ 0 , ∞ ) : R (^t )=P
0
0 dt P( k)=
s
Kolom 3: #censorskC i
d∞ 1 ( t ) + P2 (t )∞+ P3 ( t )
P−λ4:2− ttR 1−
i
()
^ MTTF HJ =∑ i Normal plots
λ+ r + x 1 x P −λ t R (dtt i+1
Kolom N= ( #at
) total ^)= risk H i pe)n−(λ
(opt(icomponents
#components
)tijdstip λ 1−n P 1 ( tλ ) )t−λdt 2
t i ( tλ+r x2t dat ¿ ¿1+
¿) :∫ De+ ekans
^
f dt
( ei ) Kolom
x t +¿ ∫ e 1
K= working dt−¿ 2
∫ i needed i+1
I¿
2
i=1 n t−u P1 ( t )= e = het system zich = t in ' toestand
( )
1 2
F ( t )=Φ =Φ ( z )systems − 0 d0t 5:
−t adjusted n #risks
0 (t H −t )∗n
2
σ
Standby x 1−x 2 bevindt x 1−x 2 i+1P ( t )∑ i=λ P ( ti+1
2 1 ), )if−λ
i i
1 P3(t )
n
( t i− ^ MTTF ) dti=2 R 3=
ofP(k p
2 d P1 ( t ) Alle i’s definiëren: i=1 dan..,Kolom k−1 dan… s (prob
6: n −n survive )
exponential:
i t i +t i+1
s HJ =∑ The inverse function can be written as
=−¿ ∀ t , tϵ [ 0 ,^∞
MTTF= ) : P ( t )∑+ P t´ ( t ) +i
k=x P i
( t
+1
) + ,Pt´ = ( t ) =1
n−1 tP dt = tWeibull 2 λ 2 λ 1 2 i n 3 ^
R i4
ex t − e x tLoad sharing i=0system n n i −λkt 2
Kolom 7: Reliability
i=1
i −μ2 ( t )= i μplots 1 2
−1
z i=Φ [ F (t ) ] =Markov
dσP22-good
1: 1-good,
analysis x 1−
) σln σ
( t2-good
−x 2 1
[ =
x 1−x
]()t β
2
S2=∑
d k−1
P1t(´2ti )=−(λ
n R
( i k=x
Serial s configuratione
−n = ∑ i+ 1 ) k
1+ λ −of2)^ P1 ( t ) 2 1
MTTF
()
(1−e−λt )
Which is linear in t. Plot ( t i , F
2: 1-fail,^ ( t i )= λ 1−F
P ( t
) 1 x12 x 2t 2 x1 x i=0 ) (
−λt ) P θ( t ) dt
R = reliability
n
1
n
component
P3dt
3: 1-good, 2-fail
( t2-fail 1e − ed t R t ∏ ) −λR+¿ i ( t ) ( independ
) =1+ 1 2
Least-squares:
exponentially distributed:
4: 1-fail,
Time of the kth when T is Serial: R ( t ) =P 1 ( t ) 2
d P3 (st ) −¿1P1−F
Parallel: R p =
i
(
ln ln
t )λ=¿
x −x
[ ]
=β x 1−x
( t ) − λ P( t( t)) P ( t ) =e ¿
1 1
ln t−β
2
3
dt
d 2
P
lnθ
1
2 ( t )=λ 1 P1 ( ti=1
−¿¿
S ( ) =
Ri ( t ) =e− λ t (if+¿exponential)
2
P (t ) ¿
i
2
k
dt 1
Plot 2 2 P ( t ) =λ 2 P1 ( t ) −λ
P (t ) ¿ 3
Y K =∑ T i , x , x = [
P1 ( t ) + P2 2( t ) + P3 ( t )
1 2 − ( 3 λ−r ) ± √ 1
λ + 6 λr+ dt r 1]
MTTF=
1 1
, MTTF
1
f y ( t )=
i =1
λ k k−1 −λtP1 ( t ) + P2 ( t ) + P3 1( t ) + P
t e P2 ( t ) =
dR ( t )=1−P λ
lnt i ,λln ln
+ λ
−¿−λ
( ¿ ¿
1−
x
¿
4 ( tF
1
^)=1
2 x t
[
( t i ) werk doen en fandersom
λ
x
+ ¿=aangepaste
2
])
Normal
Als 1 kapot gaat moet 2 meerλ
( t ) =
x t faalintensiteit ¿
distribution
√ 2
1
π σ
e
(IFR)
−1
2
¿¿
s= n
∑
Τ (k ) P1 ( t )=−( 3λ1 + λ 2x) P
Or 1 Weibull 2( t ) =
paper ( e −
t1i (,tF) ( t i ) ) x −x −( λ + λ ) t
^ 1
2
e 1 i=1
Lognormal plots
dt −x ∞ −1
1 1 k
1 2
P1 ( t )=e
1 2 1
12
¿¿
1 λR1 ( t )= ∫ e2 ¿
z=Φ−1 [ F ( t ) ] = ln ( t )− ln ( t med )
s
plot ( ln t i , z i ) lognormal paper or paper
s
∫ t
E [ Y K ]=
n
dt=
t n+1λ
for n≠
d
dt
1
RP ( t2)=P
( t )=λ
^
1 ( t1)P
β=
+lnP(ln
1 t2)(−λ t 1−F [
) +2PP3 2((t(tt))=e )
−λ t
+ ]
λ1 + λ−¿−
P2 ( t )= z=( 2
1
λ
¿Tλ¿−μ
√2 π σ t
1
2
2
n+1 d ln t−lnPθ( t ) λ 1+ λ2−λ +¿ )
P ( t ) =λ
Exponential P ( t
plots ) −λ σ 2 ¿¿¿
( ti , F^ ( ti ) ) dt dt 3
12 1 λ11 3
∫ =ln t MTTF= −ln λ+
− ( λ +[ 1−F )t 1 ]=ln 1 =λt F ( t )=P ( T ≤ t )=Φ( t −μ )
( t ) −¿−λ 2 2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper AnneBannink. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67474 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen