Samenvatting
Samenvatting wiskundige technieken 1
- Instelling
- Universiteit Utrecht (UU)
Samenvatting wiskundige technieken 1. Alles samengevat wat behandeld is in het vak met uitzondering van voorkennis (wiskunde B middelbare school).
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 6 pagina's
Voorbeeld 2 van de 6 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
WISKUNDIGE TECHNIEKEN 1 SAMENVATTINGVan Cartesische coördinaten (𝑥, 𝑦) naar poolcoördinaten (𝑟, 𝜙)
𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜙
Complexe getallen
Algemene notatie 𝑧 =𝑎+𝑏∙𝑖
Polaire representatie 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜙 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑟 ∙ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜙
Geconjugeerde 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑖
Modulus 𝑟 = |𝑧| = √𝑎 2 + 𝑏2
𝑏
Argument ϕ = 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑎
Eulers notatie 𝑒 𝑖𝜙 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜙
Stelling van Moivre (𝑐𝑜𝑠 θ + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 θ)𝑛 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛θ + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑛θ
Goniometrie
𝜋 𝜋
Voor afleiden waardes (co)sinusfuncties 3 en 6 , teken gelijkbenige driehoek en verdeel in tweeën.
𝜋
Voor afleiden waardes (co)sinusfuncties 4 , teken vierkant en verdeel in twee driehoeken.
𝑒 𝑖ϕ − 𝑒 −𝑖ϕ
𝑠𝑖𝑛ϕ =
2𝑖
𝑒 𝑖ϕ + 𝑒 −𝑖ϕ
𝑐𝑜𝑠ϕ =
2
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) − 1
𝑠𝑖𝑛(2𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑖𝑛(α ± β) = 𝑠𝑖𝑛(α) 𝑐𝑜𝑠 (β) ± 𝑐𝑜𝑠(α) 𝑠𝑖𝑛(β)
𝑐𝑜𝑠(α ± β) = 𝑐𝑜𝑠(α) 𝑐𝑜𝑠(β) ∓ 𝑠𝑖𝑛(α) 𝑠𝑖𝑛(β)
Inverse functies
Een functie is een op een en heeft een inverse als 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝑥
1
𝑓 ′ (𝑓 −1 (𝑥)) ∙ 𝑓 ′−1 (𝑥) = 1 → 𝑓 ′−1 (𝑥) =
𝑓 ′ (𝑓 −1 (𝑥))
Een functie is even als: 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) en oneven als: 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
, Integreren
Hoofdstelling van de integraalrekening
I) Wanneer 𝑓(𝑥) continu is op interval [𝑎, 𝑏], dan:
𝑑 𝑥
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎
II) Wanneer 𝐹(𝑥) een primitieve is van 𝑓(𝑥), dan:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
Integratiemethodes
- Standaardintegralen
1 𝑥
o ∫ √𝑎2 −𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑎) + 𝐶
−1 𝑥
o ∫ √𝑎2 −𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑎) + 𝐶
1 1 𝑥
o ∫ 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑎) + 𝐶
𝑎 2 +𝑥 2
o
- Substitutie 𝑢 = 𝑓(𝑥)
- Partieel integreren
∫ 𝑢′ 𝑣 ⋅ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑢 − ∫ 𝑢𝑣 ′ ⋅ 𝑑𝑥
- Inverse substitutie 𝑥 = 𝑓(𝑢)
o Gebruik 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 of 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 bij √𝑎 2 − 𝑥 2 , want 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
o Gebruik 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 bij √𝑥 2 − 𝑎 2, want 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
o Gebruik 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑢 bij 𝑎 2 + 𝑥 2 want 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑃(𝑥)
- Functies van de vorm 𝑄(𝑥) waarin 𝑃 en 𝑄 veeltermen zijn, stappen:
o Wanneer graad 𝑃 ≥ 𝑄, eerst uitdelen door middel van staartdelen.
o Verder met graad 𝑃 < 𝑄, verschillende methoden per graad:
▪ Graad 1: substitutie noemer
▪ Graad 2 & geen nulpunten: inverse substitutie of kwadraat afsplitsen
▪ Graad 2 & één nulpunt: noemer in vorm (𝑎𝑥 + 𝑏)2 schrijven
▪ Graad 2 & twee nulpunten: breuksplitsen
2+𝑥 2+𝑥 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 2) (𝐴 + 𝐵)𝑥 − 3𝐴 − 2𝐵
= = + = =
𝑥2 − 5𝑥 + 6 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝑥 − 2 𝑥 − 3 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
𝐴+𝐵 = 1
→ 𝐴 = −4𝑒𝑛𝐵 = 5
−3𝐴 − 2𝐵 = 2
2+𝑥 −4 5
= +
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 𝑥 − 2 𝑥 − 3
Differentiaalvergelijkingen eerste orde
Eerste orde homogene differentiaalvergelijking (beginvoorwaarde 𝑥(0) = 𝑥0 ):
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper irisp16. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,86. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 82191 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen