Samenvatting: verhoudingen,
procenten, breuken en
kommagetallen
1.1.1
Bij notatie van geldbedragen gebruik je kommagetallen en geen breuken. In het
dagelijksleven gebruik je verhoudingen, breuken en procenten door elkaar bijv. in een krant
om getalsmatige informatie weer te geven.
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen
verwijzen bijv. op deze school zitten er 523 leerlingen op school
Relatieve gegevens zijn gegevens waarbij je niet direct een aantal kan aflezen. Denk hierbij
aan op deze school zijn 1 op de 4 jongens.
Gecijferdheid is belangrijk voor de ontwikkeling tussen absoluut en relatief van groot belang.
Als je deze begrippen niet goed onder de knie hebt dan kun je veel informatie niet begrijpen
Om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk te onderscheiden en met elkaar in verband
te brengen kan je gebruik maken van een strookmodel. In de stroken staan absolute
gegevens (aantallen) maar ook relatieve gegevens (percentage). De strook maakt zichtbaar
hoe je de verschillen met elkaar kunt vergelijken door bijvoorbeeld het percentage op 100%
te stellen.
Als je voorkomen wil dat kinderen de getallen en percentages door elkaar gaan halen (vooral
in het begin) moet je de getallen benoemd gaan noteren. Bijvoorbeeld zoveel x raak of
zoveel euro. Bijvoorbeeld: Jesse heeft 600 euro gespaard (100%) 240 euro betaalt hij voor
een mp3 hoeveel procent is dat?
1.2.1
Overeenkomst breuken en kommagetallen, ze komen in betekenis met elkaar overeen, het
zijn allebei gebroken getallen
Verschil breuken en kommagetallen, het verschil zit in de notatie. Kommagetallen lijken op
hele getallen en niet op breuken.
Wiskundig gezien zijn hele getallen, komma getallen en breuken allemaal rationale getallen
met verschillende notatiewijzen.
Verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je breuken en
kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. De verschillen zijn dat breuken vaker
voorkomen als deel van een geheel, breuken genoteerd kunnen worden als kommagetallen
,(dit is lastig, maak gebruik van strookmodel of verschijningsvorm meetgetal dit kan
doormiddel van geld bijv.)
Kinderen vinden het lastig om te zien dat 0,10 = 0,1 om alleen te zeggen je moet een nul
toevoegen begrijpen ze dit alsnog niet, want dan gaan ze er bijv. 0,01 van maken. Wil je dit
inzichtelijk maken dan moet je gebruik maken van ondermaten die ze zelf kunnen
beredeneren. Bijvoorbeeld 0,1 meter is 1 dm, 1 dm is 10 centimeter daarom mag je 0,10
schrijven.
Repeterende breuk is een breuk die geschreven is als decimaal getal. Het deel achter de
komma stopt nooit. Als je decimalen achter de komma zich gaan herhalen dan heet dat het
repetendum.
Een breuk kan een absoluut getal zijn, maar ook een operator. Je geeft een breuk als
absoluut getal weer door een punt op de getallenlijn, naet als een heel getal. Een operator
doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs bijv. pluis heeft al 3/5 deel van het pak
opgegeten.
Een percentage geeft altijd relatief gegeven aan en is altijd een operator. Sommige kinderen
denken dat 20/100 en 1/5 hetzelfde is dat is niet altijd zo want de breuken zijn absolute
getallen en de 20% is een operator. Een breuk kan wel een operator zijn, maar dan moet er
staan 20% van iets hetzelfde is als het 20/100 deel van iets of 1/5 deel van iets. Wees
voorzichtig met plaatsen percentage op de getallenlijn tussen 0 en 1 (alsof gebroken getallen
zijn) strook is geschikter om percentages te plaatsen en te ordenen, want dan kun je ook de
absolute gegevens plaatsen
Declaratieve kennis is dat je weet dat ½=5/10 = 0,5 = 1:2=50%
Deze weetjes oefenen je snel op formeel niveau, maar ook modelondersteund bijv. met
strook of cirkelmodel
Productief oefenen is dat ze denken over de leerinhoud en oefenen tegelijkertijd. Ook
produceren de kinderen zelf opgaves en weetjes.
,2.1.1
Een evenredig verband betekent dat het ene getal zoveel keer zo groot of kleiner wordt.
Naar rato betekent dat de prijs stijgt naar verhouding bijv. hoe meer gehakt je pakt hoe
meer je moet betalen.
Verschijningsvormen: sterkte van koffie, recepten, snelheid of bevolkingsdichtheid
Soms wordt de verhouding in een breuk of percentage opgedeeld, een percentage is een
gestandaardiseerde verhouding. Het is op honderd gesteld. Bij niet-gestandaardiseerde
verhouding kan het van alles zijn.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht
te trekken.
Kwantitatieve verhoudingen zijn de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen, je
hebt een kwalitatieve verhouding als er geen getal aan te pas komt bijv. de schoenendoos in
naar verhouding te groot. De kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband. En
een meetkundige verband is altijd kwalitatief. Als je bijvoorbeeld aan de schoenendoos een
gaat opmeten en de schaal vast stelt is er sprake van een kwantitatieve verhouding.
Verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook andere zaken waar getal aan
kan worden gegeven. Bijv. 1 op de 4 pabostudenten is jongen. Het gaat om de ‘eenheid’
pabostudenten. Als verhouding één grootheid of eenheid heeft is dit een interne
verhouding. Externe verhouding zijn samengestelde grootheden denk hierbij aan km/uur,
prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling bijv. 12 snoepjes hoeveel groepjes van 4 kan ik maken? Bij
verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes)=…
Dit is dus ook een interne verhouding. Een verdelingsdeling is bijv. 3 kinderen verdelen 12
snoepjes dus 12 (snoepjes) : 3 (kinderen) dit is feitelijk een externe verhouding.
Lineair verband is verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Gaat
grafiek door oorsprong (snijpunt van verticale en horizontale as) dan is het verband
evenredig verband = verhouding. Stel je huurt een auto en er is een huurprijs per dag dan is
er een evenredig verband, maar als hier een start bedrag aan toe wordt gevoegd is er wel
sprake van lineair verband maar niet van een verhouding.
Niet-evenredig verbanden zijn niet evenredig en ook geen verhouding dit kan gemakkelijk
voor problemen zorgen. Dit is meestal het geval bij schaal en landkaarten. Als mensen twee
keer zo groot bedoelen zeggen mensen een keer zo groot of eens zo groot. Men kan ook
zeggen ‘drie keer meer’ als ze ‘drie keer zo veel’ bedoelen. ‘drie keer meer’ betekent ‘vier
keer zoveel’ het woord ‘meer’ is additieve betekenis en het woord ‘keer’ past in een
multiplicatieve context.
, Ook zijn er verbanden die wel evenredig zijn maar geen verhoudingen zijn: omgekeerd
evenredige verbanden (snelheid/tijd) hoe sneller je fietst hoe minder tijd je nodig bent.
Break-evenpoint is dat je gaat vergelijken bijv. tussen telefoons na hoeveel maanden de
kosten gelijk zijn aan bijv. een ander abonnement. Als je dit in een lijngrafiek zet wordt het
break-evenpoint goed zichtbaar
De gulden snede is een verhouding die staat voor een schoonheidsideaal: de mooiste
verhouding. Als je het lijnstuk in tweeën opdeelt dat de verhouding van het kleinste deel ten
opzichte van het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het
hele lijnstok dan heb je de gulden snede. Veelgebruikte benadering is 0,618 oneiding
decimalen en wordt aangeduid met phi ϕ
Omtrek en diameter van cirkel heeft een vaste verhouding. Als je de omtrekt deelt door de
diameter komt er hetzelfde getal uit. Dit is 22/7 en 3,1415926 dit heet pi π
Net als phi heeft pi oneindig veel decimalen achter de komma, beide zijn dit irrationale
getalen en worden niet als komma getal gezien
De rij van Fibonacci begint met 0 en 1 en vervolgens is
elk volgende element van de rij steeds de som van de
twee voorgaande elementen dus: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, etc.
