Samenvatting rekenen:
verhoudingen, procenten,
breuken en kommagetallen
Tentamen REB 2.2
Afkortingen
Vpbk = verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen.
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten,
breuken en kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Er bestaan een aantal overeenkomsten tussen de domeinen verhoudingen, gebroken getallen
(breuken en kommagetallen) en procenten:
Bij ieder domein kun je een relatief aspect onderscheiden.
Kommagetallen zijn decimale breuken.
Breuken en procenten kunnen allebei een verhouding aangeven.
Het verschil tussen de domeinen: ze kennen elk hun eigen verschijningsvorm in de realiteit. Bij de
notatie van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken. Procenten
kom je veel tegen bij kortingen en rente.
We gebruiken verhoudingen, procenten en breuken om getalsmatige informatie weer te geven.
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens: zijn getallen die naar daadwerkelijke
hoeveelheden of aantallen verwijzen, bijvoorbeeld: er zitten 54
mensen in de bus.
Relatieve gegevens: zijn verhoudingsgegevens over hoeveelheden of
aantallen waar je niet direct het daadwerkelijke aantal of getal aan
kunt aflezen, bijvoorbeeld: 1 op de 4 mensen in de bus is vrouw.
Voor de ontwikkeling van gecijferdheid van kinderen is onderscheid tussen relatief en absoluut van
groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel informatie niet goed begrijpen.
Om kinderen greep te laten krijgen op dit onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve
gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden en met elkaar in verband te brengen. Dit kan
bijvoorbeeld met een strookmodel: bij de stroken staan zowel de absolute gegevens (de aantallen)
als de relatieve gegevens (het percentage).
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het verstandig de
getallen benoemd te noteren. Dit helpt het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens
duidelijk te houden.
1
,1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met vpbk moeten kinderen greep krijgen op de
onderlinge samenhang tussen deze domeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren de kinderen ook om
de domeinen door elkaar heen te gebruiken.
1.2.1 Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken
getallen, wordt er veel aandacht besteed aan de verschillende verschijningsvormen hiervan. Om de
samenhang te doorzien is het ook nodig dat de leerlingenleren dat de domeinen in de realiteit door
elkaar voorkomen, bijvoorbeeld in krantenberichten.
De leerlingen leren de betekenis van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien,
bijvoorbeeld zoals:
1 1
x 10 betekent deel nemen van 10.
5 5
1
20% ergens van is hetzelfde als deel daarvan nemen, want 100 gedeeld door 5 is 20.
5
1
is eigenlijk 1 gedeeld door 5.
5
Op deze manier kunnen kinderen onderlinge relaties beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal
afzonderlijk leren. Daarnaast kun je op deze manier mistvattingen voorkomen, bijvoorbeeld: een
vierde deel is hetzelfde als 4%.
Breuken en kommagetallen
Breuken en kommagetallen zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt: kommagetallen lijken
op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken
allemaal rationele getallen met verschillende notatiewijzen.
Verschijningsvorm:
Overeenkomst: In de realiteit kom je breuken en kommagetallen vooral tegen als
meetgetallen.
Verschil: breuken komen vaker voor als deel van een geheel of deel van een hoeveelheid,
kommagetallen bijna nooit.
1
Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen, bijvoorbeeld = 0,2. Bij
5
1
onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen door elkaar. Ze denken bijvoorbeeld dat
5
hetzelfde is als 0,5. Om dit soort relaties inzichtelijk te maken kun je gebruik maken van een
strookmodel of de verschijningsvorm meetgetal, bijvoorbeeld geld.
Een moeilijkheid hierbij is dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Voor kinderen is dit niet vanzelfsprekend.
Het moet voor kinderen duidelijk zijn op wat voor manier je nullen mag toevoegen. De nul moet
achter het getal: dus niet 0,10 = 0,01. Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik
van verschillende ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld:
2
, 0,1 meter is hetzelfde als 1 decimeter. 1 decimeter is even lang als 10 centimeter, daarom
mag je ook schrijven 0,10 meter.
Van breuk naar kommagetal
1
Je kunt een breuk als opschrijven als kommagetal, door de breuk op te vatten als een deling. Je
7
deelt als het ware de teller door de noemer 1:7. Breuken omzetten naar kommagetallen kun je uit
1 1
het hoofd doen. Hiernaast zie je hoe je dit zou kunnen doen bij de breuk . De breuk is een
7 7
repeterende breuk: de sliert decimalen achter de komma herhaalt zich. In dit geval de decimalen:
142857. Deze sliert heet het repetendum.
Van kommagetal naar breuk
Je kunt ook kommagetallen omzetten naar breuken. Hierbij schrijf je het getal als tientallige breuk die
je steeds verder vereenvoudigt. Hieronder staat een voorbeeld bij het kommagetal 3,152.
1 5 2 152 19
3,152 = 3 + + + =3 =3
10 100 1000 1000 125
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je
3
weergeven als punt op een getallenlijn, net als een heel getal. Je kunt de breuk op een getallenlijn
5
plaatsen.
Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Bijvoorbeeld: als een heel pak
3 3
konijnenvoer 1 kg weegt en een konijn eet deel daarvan op, dan geeft aan wat er met die 1 kg
5 5
gebeurt. Zodoende wordt een deel van een geheel bepaald. De breuk geeft een relatief gegeven aan.
Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator. 20% is namelijk een
relatief getal.
1.2.2 Weetjes
Alle relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn = parate
1 5
feitenkennis, zoals = = 0,5 = 1:2 en komt overeen met 50%. Dit soort ‘weetjes’ moeten snel
2 10
beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen.
Sommige weetjes zijn voor sommige kinderen al bekend vanuit informele voorkennis. Ze weten
bijvoorbeeld dat 50% de helft is. In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot
worden uitgebreid. Allerlei weetjes oefen je daarom in. Al snel op formeel niveau, maar ook
modelondersteunend.
1
Van breuk naar kommagetal: 1:7
Hoofdstuk 2: Verhoudingen 7
2.1 Verhoudingen zijn overal Hoeveel 7’s gaan er in 1? 0, (1 over)
2.1.1 Evenredige verbanden Hoeveel 7’s gaan er in 10? 1 (over 3)
Een verhouding is een recht evenredig verband Hoeveel 7’s gaan er in 30? 4 (over 2)
tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige Hoeveel 7’s gaan er in 20? 2 (over 6)
beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat Hoeveel 7’s gaan er in 60? 8 (over 4)
als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) Hoeveel 7’s gaan er in 40? 5 (over 5)
wordt, het andere getal ook zoveel keer zo groot (of Hoeveel 7’s gaan er in 50? 7 (over 1)
klein) wordt.
1:7 = 0,142857
3
, In het dagelijkse leven kom je veel verhoudingen tegen. Bijvoorbeeld in de supermarkt. In de
supermarkt zijn vergelijkbare producten vaak te koop in verpakkingen met verschillende inhoud. Je
kunt je daarbij afvragen welk merk in verhouding het goedkoopst is. Dit betekent dat je niet naar de
absolute prijs kijkt (dus de prijs voor een toevallige verpakking of hoeveelheid), maar naar de prijs
van een bepaalde, vergelijkbare eenheid of maat.
Een ander voorbeeld van een verhouding tussen prijs en gewicht kom je bijv. tegen bij de slager.
Naarmate je meer (gewicht) koop, stijgt de prijs evenredig. Als je meer vlees koopt, dan weet je dat
de prijs naar rato, oftewel naar verhouding, stijgt.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verhoudingen maken het mogelijk zaken met elkaar te vergelijken. Er zijn veel verschillende
verschijningsvormen van verhoudingen, bijvoorbeeld:
Snelheid: aantal afgelegde kilometers per uur (km/u). Is samengestelde grootheid.
Dichtheid: bijvoorbeeld bij bevolking. Is samengestelde grootheid.
Schaal: geeft een de verhouding aan tussen de weergave van iets en de werkelijke grootte
ervan. Hierbij maak je gebruik van een schaalnotatie = bij het noteren van beide getallen
gebruiken we dezelfde maateenheid. Bijvoorbeeld: 1:80 betekent dat 1cm in het echt 80cm
is.
Getalsmatige informatie: bijvoorbeeld inflatie, stijgende kosten etc. Dit soort informatie
wordt vaak uitgedrukt in percentages of breuken.
o Percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld.
Bijvoorbeeld 5 procent is 5 van 100.
o Breuken is een niet-gestandaardiseerde verhouding: het totaal kan van alles zijn,
bijvoorbeeld 2 op de 7.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen:
Verhoudingen worden over het algemeen aangegeven met getallen. Dit zijn kwantitatieve
verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in 1 of meer getallen. Bijvoorbeeld: 1 op de 3
kleuters is dik.
Kwalitatieve verhoudingen worden uitgedrukt in woorden. Er komen geen getallen aan te
pas, bijvoorbeeld: een kind is lang voor zijn leeftijd. Een kwalitatieve verhouding is vaak een
meetkundig verband.
Interne en externe verhoudingen:
Interne verhouding: als een verhouding 1 grootheid of eenheid betreft. Voorbeelden hiervan
zijn: ‘1 op de 3 mensen is blond’ of ‘vader is 2 keer zo langs als dochter’.
Externe verhouding: een verhouding die twee verschillende grootheden betreft. Ze geven
een relatie weer tussen verschillende grootheden. Voorbeelden hiervan zijn: afgestelde
afstand in een bepaalde tijd (samengestelde grootheid) en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling:
Verhoudingsdeling: Er zijn 12 snoepjes, hoeveel groepjes van 4 kan ik maken?
Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde, in dit geval dus snoepjes:
12 (snoepjes) : 4 (snoepjes) = 3 groepjes (van elk 4 snoepjes). Hierbij gaat het om de (interne)
verhouding van het deel ten opzichte van het geheel.
Verdelingsdeling: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes, hoeveel snoepjes krijgt elk kind?
Hierbij representeren de deeltal en deler elk iets anders: 12 (snoepjes) : 3 (kinderen) = 4
snoepjes per kind. De uitkomst representeert het aantal snoepjes dat elk kind krijgt. Het
aantal snoepjes per kind is feitelijk een externe verhouding.
4
