Samenvatting verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er
verschillend uit, maar je kunt er hetzelfde mee uitdrukken.
Bij ieder domein kun je een relatief aspect onderscheiden. Kommagetallen zijn decimale breuken en
breuken en procenten kunnen allebei een verhouding aangeven.
-breuk; verhouding tussen een deel en een geheel
-percentage; verhouding tussen een deel en een geheel dat op honderd is gesteld
De domeinen kennen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit.
-geldbedragen; kommagetallen
-kortingen/rente; procenten
In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar. In bijvoorbeeld
een krant worden ze gebruikt om getalsmatige informatie weer te geven.
-Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
-Relatieve gegevens zijn gegevens over hoeveelheden of aantallen. Het zijn verhoudingsmatige
gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen.
Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is onderscheid tussen absoluut en relatief
van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel informatie uit de krant en
het nieuws niet goed begrijpen. -> dit onderscheid vinden kinderen wel juist lastig.
Veel kinderen doorzien het relatieve aspect nog niet, ondanks verschillende representaties
(cirkeldiagram en de breuken). Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het
nodig om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in
verband te brengen (bijvoorbeeld met het strookmodel). Om te voorkomen dat kinderen getallen en
percentages door elkaar halen, is het verstandig de getallen benoemd te noteren (zoveel keer raak,
zoveel euro)
1.2 Onderlinge relaties
Kinderen moeten greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze subdomeinen. Voor
sommige kinderen is het lastig als gebroken getallen, verhoudingen en procenten-en de bewerkingen
ermee- voor hen nog onvoldoende betekenis hebben.
Om greep te krijgen op alle betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen
besteden veel methodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Om de
samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de realiteit
voorkomen, bijvoorbeeld in krantenberichten. Daarnaast leren kinderen de betekenis van
bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien, zoals: 1/5 deel x 10 betekent het 1/5 deel
, nemen van 10. Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren, waardoor ze deze
niet allemaal afzonderlijk leren, alsof het losstaande feitjes zijn.
Breuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze
met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt: kommagetallen lijken
juist op hele getallen en niet op breuken.
Hele getallen, breuken en kommagetallen zijn wiskundig gezien allemaal rationale getallen met
verschillende notatiewijzen.
Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als
kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verder zijn er vaak verschillen, zoals breuken komen
bijvoorbeeld vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid; kommagetallen bijna
nooit. Bij onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen al gauw door elkaar. Ze denken dat
1/5 hetzelfde is als 0,5. Om dit soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het
strookmodel, gebruikmaken van de verschijningsvorm meetgetal (van zowel breuk als kommagetal)
met behulp van geld bijvoorbeeld.
Een moeilijkheid hierbij is het gegeven dat het rekengetal 0,10=0,1. Door te zeggen dat je nullen mag
toevoegen kom je er niet. Dan komen er ook fouten als 0,1=0,01. Je kan hier inzichtelijk mee omgaan
door gebruik te maken van verschillende ondermaten die de kinderen zelf beredeneren. (0,1
meter=1 decimeter)
Wanneer je breuken als 1/7 als kommagetal schrijft en je het hoofdrekenend bepaalt, kan dat
gemakkelijk (blz.19).
*repeterende breuk; sliert decimalen die zichzelf herhaalt 0,142857142857
De breuk 1/7 heet een repeterende breuk en de sliert 142857 heet het repetendum.
Omgekeerd kan het ook, maar dat is soms wat ingewikkelder. Als de breuk niet repeteert is het
eenvoudig. 3,152= 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000= 3 5/64
Bij de repeterende breuk hoort weer een handige handigheid (blz.20)
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een
getal, hoeveelheid of prijs.
Een breuk kan zowel een absoluut als een relatief gegeven representeren.
Bij procenten is dat anders: een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een
operator. Voorkom dus dat kinderen het idee krijgen dat 20% hetzelfde is als 20/100 en 1/5. Dat is
niet altijd zo, want 20/100 en 1/5 zijn absolute getallen en 20% is een operator. Wel is het zo dat 20%
van iets hetzelfde is als het 20/100 deel van iets of het 1/5 deel van iets. In het laatste geval is de
breuk immers een operator.
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit is parate
feitenkennis. Deze weetjes moeten snellen beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen
toepassen bij het redeneren en rekenen. Soms allerlei oefenopgaven voor het leren van al die
weetjes, maar een andere manier is productief oefenen.
In de bovenbouw moet je die kennis van onderlinge relaties vlot uitbreiden. Allerlei weetjes oefen je
in, al snel op formeel niveau, maar eerst ook nog modelondersteunend (strook- en cirkelmodel).
