Overig

Samenvatting Lineaire Algebra

2 keer verkocht

Vak
Lineaire Algebra

Instelling
Universiteit Utrecht (UU)

Een overzicht van de begrippen en rekenmethoden voor het vak Lineaire Algebra aan de UU. Dit is gebaseerd op het dictaat van Professor Beukers.

[Meer zien]

Voorbeeld 3 van de 13 pagina's

Bekijk voorbeeld

Geupload op 17 januari 2015
Aantal pagina's 13
Geschreven in 2013/2014
Type Overig
Persoon Onbekend

Volgen

RichardSchoonhoven Lid sinds 10 jaar 60 documenten verkocht

€4,49

In winkelwagen

Op verlanglijstje

100% tevredenheidsgarantie
Direct beschikbaar na je betaling
Lees online óf als PDF
Geen vaste maandelijkse kosten

Lineaire Algebra

January 25, 2014

Contents
1 Vectoren 2

2 Matrices 4

3 Stelsels Lineaire Vergelijkingen 5

4 Onafhankelijkheid en Rang 6

5 Determinanten 8

6 Vectorruimten 9

7 Lineaire Afbeeldingen 10

8 Eigenwaarden en Eigenvectoren 10

9 Orthogonale en Orthonormale Stelsels 12

1

,1 Vectoren
Vectoren : Een vector is een verschuiving in de ruimte, weergegeven door
een pijl ~v . Een vector ~v verschuift een punt A naar een punt B. Een vector
kan in coördinaten weergegeven worden door ~x = λ~e1 + µ~e2 + · · · + ν~en . Hier
zijn ~e1 , ~e2 , . . . , ~en vectoren van lengte 1 en loodrecht op elkaar. λ, µ, . . . , ν zijn
de kentallen van de vector. Doorgaans wordt een vector als volgt aangegeven:
 
x1
 x2 
~x =  ..  of ~x = (x1 , x2 , . . . , xn )t
 
.
xn

Nulvector : De nulvector is een vector met lengte 0, genoteerd: ~0

Lengte Vector in Rn : De lengte van een vector ~a wordt gegeven door:
|~a|2 = a21 + a22 + · · · + a2n

Vector Optelling : Vectoren optellen/aftrekken gaat door eerst translatie
~a uit te voeren en dan translatie ~b. De vector ~a + ~b kan gevonden worden
met de parallelogramwet. In coördinaten geldt:
~a ± ~b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , . . . , an ± bn )t

Scalaire vermenigvuldiging : Een vector kan vermenigvuldigt worden met
een reëel getal, genoteerd: λ~a, λ ∈ R. In coördinaten: λ~a = (λa1 , λa2 , . . . , λan )t .
Een tweetal vectoren zijn onafhankelijk als er de ene geen scalair veelvoud
van de andere is.

Rekenregels Vectoren :
Commutativiteit ~a + ~b = ~b + ~a
Associativiteit ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c en λ(µ~a) = (λµ)~a
Distributiviteit λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b en (λ + µ)~a = λ~a + µ~a
Oorsprong : De ruimte kent een oorsprong waar de coördinaten allemaal 0
−→
zijn, genoteerd: O. De vector die van O naar een punt P gaat is OP .
−→ −→
Lijnen : Laat p~ = OP en ~q = OQ, dan wordt de lijn door P en Q gegeven
door:
l = p~ + λ(~q − p~), λ ∈ R

2

, Hier is ~q − p~ de richtingsvector en p~ de steunvector. Het punt midden van
het lijnstuk PQ wordt gegeven door: 21 (~p + ~q)
−→ −−→ −→
Vlakken : Laat ~a = OA, ~b = OB en ~c = OC. De richtingsvectoren van het
vlak V door A,B,C zijn dan ~b − ~a en ~c − ~a. Met ~a als steunvector wordt de
parametervoorstelling van V dan gegeven door:

V = ~a + λ(~b − ~a) + µ(~c − ~a), λ, µ ∈ R

Een vlak kan ook als een vergelijking worden weergegeven (in R3 ):

V = a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3

Deze kan worden gevonden door de parametervoorstelling te vegen totdat
er alleen nog coëfficiënten en meerdere variabelen in de vergelijking voor x1
voorkomen. Andersom kan uit een vergelijking ook een parametervoorstelling
gevonden worden.
Elk vlak heeft een normaalvector ~n die loodrecht op het vlak staat. Er geldt
voor elk punt ~x ∈ V dat ~n · p~ = ~n · ~x voor een vast punt p~ ∈ V . Met deze
eigenschap kan ook een vergelijking van V worden afgeleid.
Snijpunten/snijlijnen tussen lijnen/vlakken kunnen gevonden worden door
de paramtervoorstellingen van de lijnen/vlakken aan elkaar gelijk te stellen
en dan op te lossen. Zo’n stelsel vergelijkingen is strijdig als er contradictie
in voorkomt. Het stelsel heeft dan geen oplossingen.

Inproduct in Rn (Dotproduct) : Zij θ de hoek tussen twee vectoren
~a, ~b. Het inproduct tussen ~a en ~b wordt dan gedefinieerd als:

~a · ~b = |a||b| cos θ, ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn

Als ~a · ~b = 0 en ~a 6= 0, ~b 6= 0 staan ~a en ~b loodrecht op elkaar. De vectoren
zijn dan orthogonaal. Verder geldt |~a|2 = ~a · ~a.

Inproduct Algemeen : Een functie V × V → R genoteerd als h~x, ~y i met
de volgende eigenschappen:
1. h~x, ~y i = h~y , ~xi voor alle ~x, ~y ∈ V .
2. hλ~x, ~y i = λh~x, ~y i voor alle ~x, ~y ∈ V en λ ∈ R.
3. h~x + ~y , ~zi = h~x, ~zi + h~y , ~zi voor alle ~x, ~y , ~z ∈ V .
4. h~x, ~xi ≥ 0 voor alle ~x ∈ V en h~x, ~xi = 0 ⇐⇒ ~x = ~0.
Lengte
p Vector Algemeen : De lengte van een vector ~v wordt gedefinieerd
als h~v , ~v i notatie: ||~v ||.

3

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper RichardSchoonhoven. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,49. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 69411 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis

Overig

Samenvatting Lineaire Algebra

Document informatie

Onderwerpen

Geschreven voor

Verkoper

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud