SAMENVATTING VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN
KOMMAGETALLEN
Reken-wiskundedidactiek
INHOUD
HOOFDSTUK 1: SAMENHANG VEHROUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN
KOMMAGETALLEN
De breuk ¼ kun je ook schrijven als het kommagetal 0,25. De deelopgave 1:4 heeft als uitkomst ¼
oftewel 0,25 zien er anders uit, drukken hetzelfde uit.
Overeenkomsten tussen de (sub)domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten
- bij ieder domein kan er een relatief aspect worden onderscheiden
- zijn kommagetallen decimale breuken
- breuken en procenten kunnen allebei een verhouding aangeven
Een breuk – geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel
Een percentage – geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op honderd is gestel
Je kunt hetzelfde zeggen op verschillende manieren.
Verschillen tussen de (sub)domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten
-De domeinen hebben elk hun eigen verschijningsvorm in de realiteit
- Bij geldbedragen altijd komma’s, géén breuken
- Procenten worden nooit uitgedrukt in kommagetallen
Absolute gegevens: getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Bijvoorbeeld – Er zitten 536 studenten op de pabo.
Relatieve gegevens: zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of
aantal aan kunt aflezen. Bijvoorbeeld – 1 op de 4 pabostudenten is man.
Het begrip tussen absoluut en relatief is voor de gecijferdheid van kinderen van groot belang. Zonder
dit begrip kan je namelijk info uit de krant of op het nieuws niet goed begrijpen. Belangrijk om te
benadrukken als docent. Breng deze gegevens met elkaar in verband en vergelijk ze met elkaar. Dit
kan bijvoorbeeld goed met het strookmodel.
Om te voorkomen dat kinderen percentages en getallen door elkaar halen, is het verstandig om de
getallen benoemd te noteren. Dus, “zoveel euro, zoveel raak, etc.”
Vanaf groep 7 en 8 leren de kinderen de domeinen door elkaar te gebruiken. In de klassen hiervoor
ligt de nadruk op de samenhang tussen de domeinen.
Kinderen leren dan bijvoorbeeld: 1/5 is eigenlijk 1 gedeeld door 5. Of 1/5 x 10 betekent het 1/5 deel
nemen van 10.
Wiskundig gezien hele getallen, kommagetallen én breuken zijn allemaal rationale getallen met
verschillende notatiewijzen. Dit levert voor kinderen soms wat moeilijkheden op.
1
,Alle breuken kunnen ook genoteerd worden als kommagetallen: 1/2 = 0,5 en 1/5 = 0,2.
Bij onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen al gauw door elkaar. Naast het
strookmodel kun je ook gebruik maken van de verschijningsvorm meetgetal (van zowel breuk als
kommagetal).
Bijvoorbeeld: €1,- is 1/1 is 1. €0,50 is ½ van €1,-, €0,10 is 1/10*, etc.
<Rekengetal 0,10 = 0,1 is moeilijk voor kinderen. Hoe ga je hiermee om? gebruik verschillende
ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meten is hetzelfde als 1
decimeter en 1 decimeter is even lang als 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter.
van breuk naar kommagetal
Wanneer je breuken als 1/7 als kommagetal schrijft door de breuk op te vatten als een deling, komt
dit eruit:
Hoeveel 7’s gaan er in 1? 0. Noteer een 0 en een komma, over 1.
Hoeveel 7’s gaan er in 10? 1, over 3
Hoeveel 7’s gaan er in 30? 4, over 2
Hoeveel 7’s gaan er in 20? 2, over 6
Hoeveel 7’s gaan er in 60? 8, over 4
etc.
Je vindt dus een sliert van decimalen die zichzelf herhaalt: 0,1428… De breuk 1/7 heet een
repeterende breuk en de sliert het repetendum.
Van kommagetal naar breuk
Omgekeerd kan ook! Als de breuk niet repeteert is het eenvoudig.
Bijvoorbeeld: 3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 197/64 = 3 5/64.
Bij een repeterende breuk, bijvoorbeeld 0,461538461538, doe je het volgende vermenigvuldig het
gezichte getal net zo vaak met 10 als het repetendum lang is.
Het voorbeeld telt 6 cijfers en dat vermenigvuldig je dus met 1.000.000. Trek van de uitkomst
de gezichte breuk af, dan verdwijnen alle decimalen als sneeuw voor de zon!
Wat overblijft is 999.999 keer het gezichte getal met als uitkomst 461538. Daarmee is de breuk
bekend: 461538/999999 = 6/13
Operator: doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Het is een relatief gegeven.
Procenten zijn altijd operators, want: geeft altijd een relatief gegeven weer.
Breuk: kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Het kan zowel een absoluut als een relatief
gegeven representeren.
Voorkom dat kinderen leren dat 20% hetzelfde is als 20/100 en 1/5. Dit is niet altijd zo, want 20/100
en 1/5 zijn absolute getallen en 20% is een operator.
Wel is het zo dat 20% van iets hetzelfde is als het 20/100 deel van iets of het 1/5 deel van iets. In dat
laatste geval is de breuk een operator. ‘
Declaratieve kennis: parate feitenkennis
HOOFDSTUK 2: VERHOUDINGEN
Recht evenredig verband: een verhouding is recht evenredig verband tussen twee of meer
getalsmatige of meetkundige beschrijvingen.
2
, VB: Als 1 op de 4 is man. Dus als er in totaal 800 studenten zijn, zijn er 200 man.
Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, het
andere getal (of de andere getallen) ook zoveel keer zo groot of (of klein) wordt.
Verhoudingen: je kijkt niet naar de absolute prijs, maar naar de prijs van de bepaalde vergelijkbare
eenheid of maat. Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte en gewicht. Het
maakt het mogelijk om dingen met elkaar te vergelijken.
Samengestelde grootheden: Bijvoorbeeld dichtheid en snelheid: snelheid kun je uitdrukken in het
aantal afgelegde kilometers per uur (km/u). Die km/u is samengesteld uit de grootheid lengte, met
de maateenheid kilometer, en de grootheid tijd, met de maat uur.
Schaal: veel voorkomende verhouding. Geeft de verhouding aan tussen de weergave van iets en de
werkelijke grootte ervan.
1:1 = ware grote 20:1 = 20x zo groot
Gestandaardiseerde verhouding: een percentage, die is op 100 gesteld.
VB: 5 % is 5 van de 100
Wanverhouding: worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om aandacht te trekken.
Dat zie je bijvoorbeeld in de reclame.
Kwantitatieve verhoudingen: verhoudingen die worden uitgedrukt in een of meer getallen
kwalitatieve verhoudingen: verhoudingen waar geen getal aan te pas komt; uitgedrukt in woorden
Kwalitatieve verhoudingen is vaak een meetkundig verband. Andersom gaat het sowieso op: een
meetkundige verhouding is altijd kwalitatief.
Interne verhouding: een verhouding die één grootheid of eenheid betreft.
VB: 1 op de 3 kinderen uit deze klas heeft een huisdier.
Externe verhouding: betreft een verhouding met twee verschillende grootheden.
VB: afgelegde afstand in een bepaald tijd.
Delen wordt onderscheiden in:
Verhoudingsdeling: deeltal en deler representeren hetzelfde; 12 snoepjes, hoeveel groepjes van 4
snoepjes kan ik maken.
Verdelingsdeling: deeltal en deler representeren elk iets anders; 12 snoepjes, 3 kinderen, hoeveel
krijgt elk kind?
Lineair verband: een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft.
Evenredig verband of verhouding: Als die grafiek door de oorsprong (het snijpunt van de verticale en
horizontale as) gaat.
Niet evenredig verband: verbanden die niet evenredig zijn en dus géén verhouding hebben.
Verhoudingsgewijs redeneren: alles evenveel vergoten
verbanden tussen lengte, oppervlakte en inhoud. Als iets twee keer zo groot wordt, betekent dat
de lengte verdubbelt. Maar de oppervlakte wordt in twee richtingen verdubbeld: zowel in de lengte
3
