KANSREKENING SAMENVATTING
Auteur: Arie Buijs
10e druk (2017)
Samenvatting hoofdstuk 3, 4, 5, 6 en 7 (niet alle paragrafen)
, INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 3 – Kansrekening........................................................................................................................ 3
3.1 – Volgordeproblemen ..................................................................................................................................... 3
3.2 – Inleiding kansrekening................................................................................................................................. 4
3.3 – Werken met voorwaardelijke kansen.......................................................................................................... 7
3+.2 – De hypergeometrische verdeling ............................................................................................................... 8
Hoofdstuk 4 - Kansvariabelen.................................................................................................................... 10
4.1 – Kansvariabelen: twee soorten ................................................................................................................... 10
4.2 – Kansfunctie en verdelingsfunctie............................................................................................................... 10
4.3 – Verwachtingswaarde en variantie ............................................................................................................ 11
4.4 – Enkele eigenschappen van verwachting en variantie ............................................................................... 12
4.5 – Optelling van variabelen ........................................................................................................................... 13
Hoofdstuk 5 – Normale verdeling .............................................................................................................. 15
5.1 – Kansrekening met de normale verdeling ................................................................................................... 15
5.2 – Willekeurige normale verdelingen ............................................................................................................ 17
5.3 – Optellen en middelen ................................................................................................................................ 19
5.4 – De normale verdeling in de praktijk .......................................................................................................... 20
5.5 – Passingsproblemen.................................................................................................................................... 20
Hoofdstuk 6 – Binomiale vereling .............................................................................................................. 22
6.1 – Berekenen van binomiale kansen .............................................................................................................. 22
6.2 – Verwachting en variantie .......................................................................................................................... 24
6.3 – De normale benadering ............................................................................................................................. 24
6+ - Enkele aanvullende onderwerpen ................................................................................................................ 26
Hoofdstuk 7 – Poissonverdeling ................................................................................................................ 28
7.1 – Poissonverdeling: enkele basisbegrippen .................................................................................................. 28
7.2 – Benadering met behulp van de normale verdeling ................................................................................... 30
7.3 – Toepassing bij de binomiale verdeling ...................................................................................................... 30
2
, HOOFDSTUK 3 – KANSREKENING
3.1 – VOLGORDEPROBLEMEN
Volgordeproblemen zijn problemen waarmee wordt onderzocht in hoeveel volgorden bepaalde
resultaten in een experiment tot stand kunnen komen.
Permutaties
Algemeen geldt dat n elementen op 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ 𝑛. We schrijven dit ook wel als n!. Om
rekentechnische redenen definiëren wel 0! = 1.
Permutaties worden ook wel plaatsverwisselingen genoemd. De volgorde maakt hierbij wel uit,
herhaling is niet mogelijk en we gebruiken de hele groep.
Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan je vier personen (A, B, C en D) naast elkaar zetten?
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADC CADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
Dit zijn 24 mogelijkheden.
Als je dit per plaats bekijkt, dan heb je voor de eerste plaats 4 mogelijkheden, voor de tweede plaats
nog 3 mogelijkheden, voor de derde plaats nog 2 mogelijkheden en voor de vierde plaats nog 1. Dus:
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24.
Variaties
Algemeen geldt een selectie van k elementen uit n. Om dit te berekenen gebruiken we de formule
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
.
Bij variaties maakt de volgorde wel uit, herhaling is niet mogelijk en het gaat niet om de hele groep
maar een selectie daarvan.
Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan je vier personen (A, B, C en D) uit een groep van tien personen naast elkaar
zetten?
10! 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
= = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7. Als je dit per plaats bekijkt, dan heb je voor de eerste
(10−4)! 6∙5∙4∙3∙2∙1
plaats 10 mogelijkheden, daarna nog 9, daarna nog 8 en ten slotte nog 7 mogelijkheden.
Wanneer er per plaats een bepaalde eigenschap aan vast hangt, spreken we over het aantal variaties.
Het is dan van belang wie als eerste wordt gekozen, wie als tweede, etc. Is het verschil tussen de
eerste en vierde plek verder niet van belang (je wil gewoon een groep van vier), dan hebben we het
over combinaties.
3
, Combinaties
𝑛!
Algemeen geldt een loting van k elementen uit n. We gebruiken hiervoor de formule
(𝑛−𝑘)!𝑘!
. We
𝑛
noteren dit ook wel als ( ). Dit wordt een binomiaalcoëfficiënt genoemd.
𝑘
Bij combinaties maakt de volgorde niet uit, herhaling is niet mogelijk en het gaat niet om de hele
groep maar een selectie daarvan.
Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan ik een team van vier personen vormen uit een groep van tien?
10! 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 10∙9∙8∙7 10
= = =( ) = 210.
(10−4)!4! 6∙5∙4∙3∙2∙1∙4∙3∙2∙1 4! 4
Hierbij tellen we dus alle groepen die minstens één element verschillen. Het maakt niet uit of je als
eerste, als tweede, als derde, etc. wordt gekozen. Eigenlijk is dit gebaseerd op een variatie, maar
delen we het nog door het aantal mogelijke permutaties.
Groepen na teruglegging
We spreken van loten met terugleggen wanneer een element dat gekozen is nóg een keer opnieuw
kan verschijnen. Dit berekenen we met 𝑛𝑘 = 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ … ∙ 𝑛.
Voorbeeld:
Banken overwegen een 5-cijferige pincode. Hoeveel mogelijkheden zijn er als cijfers opnieuw gebruikt
mogen worden?
10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 105 = 100.000.
In Nederland zijn nummerborden met: twee cijfers – drie letters – één cijfer. A, E, I, O en U zijn niet
toegestaan. Wat is het aantal mogelijkheden nummerborden?
10 ∙ 10 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 10 = 9.261.000.
Samengevat:
Hele groep? Volgorde? Formule
Permutaties Ja Ja 𝑛!
Variaties Nee Ja 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
Combinaties Nee Nee 𝑛 𝑛!
( )=
𝑘 (𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
3.2 – INLEIDING KANSREKENING
Kansdefinities
Kansrekening kan ons helpen om uitspraken te doen over het optreden van bepaalde uitkomsten, die
een onzekerheid met zich meedragen. Het ’symbool’ P geeft de kans op een gebeurtenis aan.
4
Auteur: Arie Buijs
10e druk (2017)
Samenvatting hoofdstuk 3, 4, 5, 6 en 7 (niet alle paragrafen)
, INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 3 – Kansrekening........................................................................................................................ 3
3.1 – Volgordeproblemen ..................................................................................................................................... 3
3.2 – Inleiding kansrekening................................................................................................................................. 4
3.3 – Werken met voorwaardelijke kansen.......................................................................................................... 7
3+.2 – De hypergeometrische verdeling ............................................................................................................... 8
Hoofdstuk 4 - Kansvariabelen.................................................................................................................... 10
4.1 – Kansvariabelen: twee soorten ................................................................................................................... 10
4.2 – Kansfunctie en verdelingsfunctie............................................................................................................... 10
4.3 – Verwachtingswaarde en variantie ............................................................................................................ 11
4.4 – Enkele eigenschappen van verwachting en variantie ............................................................................... 12
4.5 – Optelling van variabelen ........................................................................................................................... 13
Hoofdstuk 5 – Normale verdeling .............................................................................................................. 15
5.1 – Kansrekening met de normale verdeling ................................................................................................... 15
5.2 – Willekeurige normale verdelingen ............................................................................................................ 17
5.3 – Optellen en middelen ................................................................................................................................ 19
5.4 – De normale verdeling in de praktijk .......................................................................................................... 20
5.5 – Passingsproblemen.................................................................................................................................... 20
Hoofdstuk 6 – Binomiale vereling .............................................................................................................. 22
6.1 – Berekenen van binomiale kansen .............................................................................................................. 22
6.2 – Verwachting en variantie .......................................................................................................................... 24
6.3 – De normale benadering ............................................................................................................................. 24
6+ - Enkele aanvullende onderwerpen ................................................................................................................ 26
Hoofdstuk 7 – Poissonverdeling ................................................................................................................ 28
7.1 – Poissonverdeling: enkele basisbegrippen .................................................................................................. 28
7.2 – Benadering met behulp van de normale verdeling ................................................................................... 30
7.3 – Toepassing bij de binomiale verdeling ...................................................................................................... 30
2
, HOOFDSTUK 3 – KANSREKENING
3.1 – VOLGORDEPROBLEMEN
Volgordeproblemen zijn problemen waarmee wordt onderzocht in hoeveel volgorden bepaalde
resultaten in een experiment tot stand kunnen komen.
Permutaties
Algemeen geldt dat n elementen op 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ 𝑛. We schrijven dit ook wel als n!. Om
rekentechnische redenen definiëren wel 0! = 1.
Permutaties worden ook wel plaatsverwisselingen genoemd. De volgorde maakt hierbij wel uit,
herhaling is niet mogelijk en we gebruiken de hele groep.
Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan je vier personen (A, B, C en D) naast elkaar zetten?
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADC CADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
Dit zijn 24 mogelijkheden.
Als je dit per plaats bekijkt, dan heb je voor de eerste plaats 4 mogelijkheden, voor de tweede plaats
nog 3 mogelijkheden, voor de derde plaats nog 2 mogelijkheden en voor de vierde plaats nog 1. Dus:
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24.
Variaties
Algemeen geldt een selectie van k elementen uit n. Om dit te berekenen gebruiken we de formule
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
.
Bij variaties maakt de volgorde wel uit, herhaling is niet mogelijk en het gaat niet om de hele groep
maar een selectie daarvan.
Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan je vier personen (A, B, C en D) uit een groep van tien personen naast elkaar
zetten?
10! 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
= = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7. Als je dit per plaats bekijkt, dan heb je voor de eerste
(10−4)! 6∙5∙4∙3∙2∙1
plaats 10 mogelijkheden, daarna nog 9, daarna nog 8 en ten slotte nog 7 mogelijkheden.
Wanneer er per plaats een bepaalde eigenschap aan vast hangt, spreken we over het aantal variaties.
Het is dan van belang wie als eerste wordt gekozen, wie als tweede, etc. Is het verschil tussen de
eerste en vierde plek verder niet van belang (je wil gewoon een groep van vier), dan hebben we het
over combinaties.
3
, Combinaties
𝑛!
Algemeen geldt een loting van k elementen uit n. We gebruiken hiervoor de formule
(𝑛−𝑘)!𝑘!
. We
𝑛
noteren dit ook wel als ( ). Dit wordt een binomiaalcoëfficiënt genoemd.
𝑘
Bij combinaties maakt de volgorde niet uit, herhaling is niet mogelijk en het gaat niet om de hele
groep maar een selectie daarvan.
Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan ik een team van vier personen vormen uit een groep van tien?
10! 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 10∙9∙8∙7 10
= = =( ) = 210.
(10−4)!4! 6∙5∙4∙3∙2∙1∙4∙3∙2∙1 4! 4
Hierbij tellen we dus alle groepen die minstens één element verschillen. Het maakt niet uit of je als
eerste, als tweede, als derde, etc. wordt gekozen. Eigenlijk is dit gebaseerd op een variatie, maar
delen we het nog door het aantal mogelijke permutaties.
Groepen na teruglegging
We spreken van loten met terugleggen wanneer een element dat gekozen is nóg een keer opnieuw
kan verschijnen. Dit berekenen we met 𝑛𝑘 = 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ … ∙ 𝑛.
Voorbeeld:
Banken overwegen een 5-cijferige pincode. Hoeveel mogelijkheden zijn er als cijfers opnieuw gebruikt
mogen worden?
10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 105 = 100.000.
In Nederland zijn nummerborden met: twee cijfers – drie letters – één cijfer. A, E, I, O en U zijn niet
toegestaan. Wat is het aantal mogelijkheden nummerborden?
10 ∙ 10 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 10 = 9.261.000.
Samengevat:
Hele groep? Volgorde? Formule
Permutaties Ja Ja 𝑛!
Variaties Nee Ja 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
Combinaties Nee Nee 𝑛 𝑛!
( )=
𝑘 (𝑛 − 𝑘)! 𝑘!
3.2 – INLEIDING KANSREKENING
Kansdefinities
Kansrekening kan ons helpen om uitspraken te doen over het optreden van bepaalde uitkomsten, die
een onzekerheid met zich meedragen. Het ’symbool’ P geeft de kans op een gebeurtenis aan.
4
