STATISTIEK 1B AANTEKENINGEN
Statistiek 1b Aantekeningen
09-11-2020: 6.1 Week 1
Sapling voor meer oefenmateriaal. Ook uitleg over bepaalde onderwerpen.
Extra oefenopgaven op Nestor.
Assumpties voor z-procedure:
1. De variabele is een interval of ratio variabele.
2. SRSs uit de populatie(s).
3. De twee SRSs zijn onafhankelijke steekproeven.
4. Normale populatieverdeling van de scores.
5. Beide populatiestandaarddeviaties ơ1 en ơ2 zijn bekend.
Assumpties voor t-procedure:
1. De variabele is een interval of ratio variabele.
2. SRSs uit de populatie(s).
3. De twee SRSs zijn onafhankelijke steekproeven.
4. Normale populatieverdeling van de scores.
Statistische inferentie
Doel: conclusies trekken, beslissingen nemen, voorspellingen maken over een populatie op basis van
steekproefresultaten.
Twee belangrijke methodes
- Betrouwbaarheidsintervallen: het schatten van de waarde van een parameter.
- Significantietoetsen: het verkrijgen van bewijs tegen een bepaalde claim.
Er is niet één ‘correcte’ inferentiële methode, maar verschillende aanpakken:
- Frequentistische aanpak: verzekert ons dat we correcte conclusies trekken voor een vast
percentage van onderzoeken, in the long run. Tegen een bepaalde claim of hypothese.
- Bayesiaanse aanpak: kwantificeert bewijs in een bepaalde dataset voor een bepaalde
hypothese. Voor een bepaalde claim of hypothese.
De ene aanpak is handiger dan zijn dan de andere, afhankelijk wat je wil onderzoeken.
Frequentistische aanpak domineert binnen psychologie.
Betrouwbaarheidsintervallen en significantietoetsing: beide methodes op sampling distributions van
stastictics gebaseerd. Idee: wat zou er gebeuren als we deze inferentiemethode heel vaak herhalen
Voorwaarde hiervoor:
- Probability model van de date (sampling distribution)
- Betrouwbaar model >> properly randomized design
1
, STATISTIEK 1B AANTEKENINGEN
- Problematisch: voluntary response samples, confounded experiments, …
Basis sampling distributions
Centrale limietstelling:
Als n groot is, dan is de sampling distribution van het
steekproefgemiddelde x ongeveer normaal verdeel:
- Dit geldt ongeacht de vorm van de populatieverdeling.
- Voorwaarde: SRS, eindige ơ en voldoende grote n.
- Als X ~ N (µ, ơ) dan is x normaal verdeeld, ook bij kleinere n.
Aannames chapter 6
1. SRS uit de populatie waarin we geïnteresserd zijn. Geen non-response of andere praktische
problemen.
2. Normale populatieverdeling N(µ, ơ).
3. Het populatiegemiddelde µ is onbekend, maar de populatiestandaarddeviatie ơ is wel
bekend.
Deze setting is te simpel om realistisch te zijn.
Schatten met betrouwbaarheid
Het schatten van de waarde van een parameter.
Twee soorten schatters:
- Puntschatter: een enkel getal dat onze “beste gok” is voor de parameter.
- Intervalschatter: een interval van getallen dat de parameterwaarde (hopelijk) zal bevatten.
Een interval dat de meest geloofwaardige waarden van een parameter bevat.
Betrouwbaarheidsniveau (confidence level) = de kans dat deze methode een interval produceert dat
de parameter bevat.
2
, STATISTIEK 1B AANTEKENINGEN
Voorbeeld
3 is hier de puntschatter.
68-95-99,7 regel: ongeveer
kans dat 0,95 dat Ⴟ binnen 2
x 0,2 = 0,4 punten van het
populatiegemiddelde µ ligt.
Ⴟ binnen 0,4 punten van µ.
Het steekproefgemdiddelde ligt niet meer dan 0,4
van het populatiegemiddelde af, en het
populatiegemiddelde ligt dut niet meer dan 0,4 van
het steekproefgemiddelde af. Dus µ vinnen 0,4 van Ⴟ
Dus als we heel vaak een steekproef trekken en elke keer een interval Ⴟ+- 0,4 opstellen, dan zullen
we in 95% van deze intervallen µ bevatten. Ⴟ
Gedachte: wat zou er gebeuren op de lange duur, bij heel veel herhalingen?
Twee mogelijkherden voor onze ene steekrproef:
- Het interval bevat het populatiegemiddelde µ.
- Het interval bevat het populatiegemiddelde µ niet.
We weten niet of onze steekproef een van de intervallen is die bevat of niet.
We hebben dit interval verkregen met een methode die ons een correct resultaat geeft in 95% van
de gevallen.
Vanaf nu gebruiken we de normale verdeleing om exactere grenzen te gebruiken dan de vuistregel
van niet. Tabel A – stand normal distribution. Z-scoresin plaats van vuistregel.
Betrouwbaarheidsintervallen
Algemeen: C BHI (betrouwbaarheidsinterval, confidence interval) voor een parameter.
Schatter +- margin of error
Schatter = beste gok voor de parameterwaarde.
Margin of errror = indicatie van de naurwkeurighed van de schatter, gebaseerd op:
1. Variabiliteit van de schatter (via sampling distribution) en
2. Betrouwbaarheid van de methode (betrouwbaarheidsniveau C)
BHI voor een populatiegemiddelde µ
3
, STATISTIEK 1B AANTEKENINGEN
Belangrijk:
Voorbeeld
Populatie studenten:
- IQ-scores normaal verdeeld met ơ = 15
SRS van n = 10 studenten
- Gemiddelde IQ in steekproef is 117
Wat is het 80% BHI voor het populatiegemiddelde?
Gegeven X ~ N(µ, ơ = 15), n = 10, Ⴟ = 117
4
, STATISTIEK 1B AANTEKENINGEN
Gevolg: Ⴟ is normaal verdeeld, ook nu n zo klein is (CLS)
Maar waarom 90% kans ipv 80% en hoe komen we aan z* = 1,28 → MAAK EEN PLAATJE!
Je mag ook de negatieve waarde
gebruiken, dus een kans van 0,1, en
dan kom je op de -1,28 uit.
Voorbeeld
In de populatie Nederlanders zijn de scores op een geheugentests (X) rechtsscheef verdeeld met ơ =
15. In een random steekproef van 100 Nederlanders blijkt de gemiddelde score op de geheugentest
55 te zijn. Wat is het 96% BHI voor het populatiegemiddelde?
Aanname: door de grote n is steekproefgemiddelde vrijwel normaal verdeeld (CLS)
5
, STATISTIEK 1B AANTEKENINGEN
Handig is hier om een
plaatje bij te maken,
zodat je goed weet
welke p-waarde je
moet gebruiken en dus
op welke z-score je
uitkomt.
Gedrag van BHI
Gewenste eigenschappen:
- Hoge betrouwbaarheid
- Kleine margin of error
Hoe smaller het BHI, hoe nauwkeuriger de schatting van de parameter.
Welke factoren bepaalden de breedte van het BHI?
𝜎
Breedte van je interval wordt bepaalde door z*, ơ en n 𝑥̅ ± 𝑧 ∗
√𝑛
Kritieke waarde z*
- Kritieke waarde z* wordt bepaald door de keuze van het betrouwbaarheidsniveau C.
- Hoe kleiner C, hoe kleiner z*, hoe smaller het BHI.
- Dit vaak niet wat je wilt …
Populatiestandaarddeviatie ơ
- Hoe kleiner ơ, hoe smaller het BHI.
- Maar, … ơ is een kenmerk van de populatie en hier kun je (meestal) niets aan veranderen.
Steekproefgrootte n
- Hoe groter n, hoe kleiner ơ/n (kleinere variabiliteit), hoe smalle het BHI. Hier heb je wel
invloed op als onderzoeker.
Kunnen we vooraf een inschatting maken hoe groot we n moeten kiezen om een C-BHI van een
bepaalde breedte te krijgen.
➔ Breedte van BHI wordt bepaalde door margin of error m
➔ Voor de breedte van het BHI maakt het niet uit wat het steekproefgemiddelde Ⴟ wordt, dit is
slechts het midden van het interval.
Dus: margin of error moet voldoende klein zijn. Hoe? Vul de waarde in van ơ en z* en los n
∗ 𝜎 𝑧 ∗𝜎 2
op. 𝑚=𝑧 → 𝑛=( )
√𝑛 𝑚
6
, STATISTIEK 1B AANTEKENINGEN
Voorbeeld
Zoek n zodanig dat margin of error van 95% BHI voor µ gelijk wordt aan 2 als ơ = 15.
- Dus z* x ơ/n = 2
- Gegeven: z* = 1,96 en ơ = 15
- Vul alles in en los op
Je moet hierbij naar boven afronden, aangezien je betrouwbaarheidsinterval te breed wordt, en je
betrouwbaarheidsinterval is betrouwbaarder als je meer mensen hebt.
Waarschuwingen bij betrouwbaarheidsintevallen
SRS uit een populatie is nooodzakelijk.
- Formule van BHI is incorrect als we multistage random sample of stratified random sample
hebben.
- Formule van BHI werkt niet goed als je ondeugelijke data hebt.
Ⴟ is gevoelilg voor outliers.
Als steekproef klein is en populatie niet normaal, dan kan het betrouwbaarheidsinterval erg afwijken
van C.
Conclusie
C-BHI voor µ: voor een SRS van grootte n uit een populatie met onbekend gemiddelde µ en bekende
∗ 𝜎
standaarddeviatie ơ is het C BHI voor µ: 𝑥̅ ± 𝑧
√𝑛
Waarbij de z* waarde van de standaardnormale verdeling is met een oppervlakte C binnen de
kritieke punten -z* en z*.
Minimale steekproefgroottebepalen: een C BHI voor µ heeft een margin of error kleiner dan m als de
𝑧 ∗𝜎 2
steekproefgrootte groter is dan 𝑛 = ( )
𝑚
7
, STATISTIEK 1B AANTEKENINGEN
13-11-2020: 6.2
Doel van statistische inferentie: conclusies trekken, beslissingen nemen, voorspellingen maken over
een populatie op basis van een steekproef. Twee hoofdmanieren om dit te doen:
- Betrouwbaarheidsintervallen: schatten van de waarde van een parameter, wat wordt het
gemiddelde van de populatie ongeveer. Je krijgt een interval met geloofwaardige waardes.
- Significantietoetsen: verkrijgen van bewijs tegen een bepaalde claim. We hebben een
steekproef met een bepaalde hypothese die we van te voren opgesteld hebben en dan gaan
we kijken hoe goed de resultaten van de steekproef passen bij onze hypothese. We proberen
bewijs te vinden tegen de claim.
Beide technieken gebaseerd op Sampling distributions van statistics. Wat zou er gebeuren als we
deze inferentiemethode heel vaak herhalen?
Voorwaarde hiervoro:
- Probability model van de data. Die data, wat voor soort verdeling is dat, kunnen we daar een
vorm aan hangen. Een gemiddelde of standaarddeviatie aan hangen.
- Betrouwbaar model >> proporly randomized design (SRS).
- Problematisch: voluntary response samples, confounded experiments, …
Aannames in het gehele hoofdstuk 6:
1. We hebben een SRS uit de populatie waarin we geïnteresseerd zijn. Er is geen non-response
of een ander praktisch probleem.
2. De variabele die we meten heeft een exacte normale verdeling N(µ,ơ) in de populatie.
3. Het populatiegemiddelde µ is onbekend, maar we kennen de populatiestandaarddeviatie ơ
wel.
Al deze condities zijn te simpel om realistisch te zijn.
Basis Sampling Distributions
Centrale limietstelling: als n groot is, dan is de simpling random distribution van het
steekproefgemiddelde Ⴟ ongeveer normaal verdeeld. Ⴟ is ongeveer N (µ, ơ/n)
Bij elke steekproef groter
dan 1 zal de verdeling
minder scheef worden.
Standaarddeviatie = ơ/n,
dus 0,5
Antwoord C is goed.
8
