Samenvatting
Samenvatting hoofdstuk 3 - Verandering en groei
Samenvatting van hoofdstuk 3, duidelijke uitleg met paar handige tips om de stof eigen te maken
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 6 pagina's
Voorbeeld 2 van de 6 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Gekoppeld boek
Titel boek:
Auteur(s):
- Uitgave:
- ISBN:
- Druk:
Voorbeeld van de inhoud
Hoofdstuk 3 Verandering en GroeiAfgeleide en verandering
De formule van de raaklijn is: g ( x )=f ( a ) +f ' (a)( x−a)
Hierbij geldt f ( a )=g ( a ) en ook f ' ( a )=g '( a)
g ( x ) wordt ook wel de eerste orde benadering genoemd (lineaire benadering) van f (x) waarbij x
rond de a ligt.
Benaderingen worden gebruikt om schattingen van veranderingen in functies te maken als gevolg
van een kleine verandering in de variabele x.
Deze verandering moet klein zijn, want alleen rond punt a is er een grotere zekerheid dus als x veel
afwijkt van a, is er een grotere onzekerheid in x en dus ook in de functie.
f ( x ) ≅ g ( x )=f ( a )+ f ' (a)(x−a)
f ( x )−f ( a ) ≅ f ' (x)( x−a)
∆ f =f ( x )−f (a) als x → a dan ∆ f →0 oftewel de onzekerheid in de functie wordt minder en
dus een betere benadering.
∆ x=( x−a) als x → a dan ∆ x →0
∆ f ≅ f ' ( x ) ∆ x als ∆ x →0 dan ook ∆ f →0
Dus naarmate x kleiner wordt geeft dit een betere benadering van de functie.
Om de invloed van ∆ x op ∆ f te bepalen gebruiken we de relatieve fout:
∆f f '(x)∆ x
= Voorbeeld
f (x) f (x )
Je meet de afmetingen van een
kubus (alle zijdes even lang dus).
Wat is de relatieve fout in de
inhoud?
I ( x )=x 3
I ' ( x )=3 x 2
Invullen geeft:
∆ f 3 x2 ∙ ∆ x ∆x
= 3
=3
f (x) x x
De relatieve fout in de inhoud is
driemaal de relatieve fout in de
afmeting.
, Een eerste orde benadering is in sommige gevallen niet genoeg. Om een groter bereik van de functie
te bereiken, gebruiken we tweede orde benaderingen en hoger.
Deze tweede orde benadering voldoet aan:
f ( a )=g ( a )
f ' ( a )=g' ( a )
f ' ' ( a ) =g ' ' ( a )
' 1
Hieruit volgt: f ( x ) ≅ f ( a ) +f ( a ) ( x−a )+ f ' ' (a)( x−a)2
2
Taylorreeksen
Dit zijn reeksen die rond punt a steeds beter lijken op de oorspronkelijke functie.
1 1 1 1
f ( x )=f ( a ) + f ( a ) ( x −a ) + f '' ( a ) ( x−a)2+ f ' ' ' ( a ) (x−a)3+...+ f ( n) (a)( x−a)n
1! 2! 3! n!
n (k )
1
f ( x )= ∑ f (a) (x−a)k
k=0 k!
Met deze reeksen zijn tevens limieten te berekenen van functies.
Ook de regel van L’Hôpital berekent limieten in punt a, mits deze aan één van de volgende
voorwaarde voldoet f ( a )=g ( a )=0 of f ( a )=± ∞ en g ( a )=± ∞ .
Bij deze voorwaardes geldt dan:
f (x) f '( a)
lim =lim
x→ a g(x ) x→ a g ' (a)
Modellen voor continue groei
Groeisnelheid en relatieve groeisnelheid
De groeisnelheid van een grootheid y is y’(t). De relatieve groeisnelheid is y’(t) gedeeld door de
y ' (t)
grootheid y:
y (t)
Exponentiële functies
y ( t ) =c er t
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper timodiederik. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 70055 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen