100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
Samenvatting hoofdstuk 3 - Verandering en groei €2,99
In winkelwagen

Samenvatting

Samenvatting hoofdstuk 3 - Verandering en groei

 0 keer verkocht

Samenvatting van hoofdstuk 3, duidelijke uitleg met paar handige tips om de stof eigen te maken

Voorbeeld 2 van de 6  pagina's

  • Nee
  • Hoofdstuk 3
  • 31 maart 2020
  • 6
  • 2019/2020
  • Samenvatting
book image

Titel boek:

Auteur(s):

  • Uitgave:
  • ISBN:
  • Druk:
Alle documenten voor dit vak (6)
avatar-seller
timodiederik
Hoofdstuk 3 Verandering en Groei



Afgeleide en verandering

De formule van de raaklijn is: g ( x )=f ( a ) +f ' (a)( x−a)

Hierbij geldt f ( a )=g ( a ) en ook f ' ( a )=g '( a)

g ( x ) wordt ook wel de eerste orde benadering genoemd (lineaire benadering) van f (x) waarbij x
rond de a ligt.

Benaderingen worden gebruikt om schattingen van veranderingen in functies te maken als gevolg
van een kleine verandering in de variabele x.

Deze verandering moet klein zijn, want alleen rond punt a is er een grotere zekerheid dus als x veel
afwijkt van a, is er een grotere onzekerheid in x en dus ook in de functie.

f ( x ) ≅ g ( x )=f ( a )+ f ' (a)(x−a)
f ( x )−f ( a ) ≅ f ' (x)( x−a)
∆ f =f ( x )−f (a)  als x → a dan ∆ f →0 oftewel de onzekerheid in de functie wordt minder en
dus een betere benadering.

∆ x=( x−a)  als x → a dan ∆ x →0

∆ f ≅ f ' ( x ) ∆ x  als ∆ x →0 dan ook ∆ f →0


Dus naarmate x kleiner wordt geeft dit een betere benadering van de functie.



Om de invloed van ∆ x op ∆ f te bepalen gebruiken we de relatieve fout:

∆f f '(x)∆ x
= Voorbeeld
f (x) f (x )
Je meet de afmetingen van een
kubus (alle zijdes even lang dus).
Wat is de relatieve fout in de
inhoud?

I ( x )=x 3

I ' ( x )=3 x 2
Invullen geeft:

∆ f 3 x2 ∙ ∆ x ∆x
= 3
=3
f (x) x x
De relatieve fout in de inhoud is
driemaal de relatieve fout in de
afmeting.

, Een eerste orde benadering is in sommige gevallen niet genoeg. Om een groter bereik van de functie
te bereiken, gebruiken we tweede orde benaderingen en hoger.

Deze tweede orde benadering voldoet aan:

 f ( a )=g ( a )
 f ' ( a )=g' ( a )
 f ' ' ( a ) =g ' ' ( a )


' 1
Hieruit volgt: f ( x ) ≅ f ( a ) +f ( a ) ( x−a )+ f ' ' (a)( x−a)2
2


Taylorreeksen

Dit zijn reeksen die rond punt a steeds beter lijken op de oorspronkelijke functie.

1 1 1 1
f ( x )=f ( a ) + f ( a ) ( x −a ) + f '' ( a ) ( x−a)2+ f ' ' ' ( a ) (x−a)3+...+ f ( n) (a)( x−a)n
1! 2! 3! n!
n (k )
1
f ( x )= ∑ f (a) (x−a)k
k=0 k!


Met deze reeksen zijn tevens limieten te berekenen van functies.

Ook de regel van L’Hôpital berekent limieten in punt a, mits deze aan één van de volgende
voorwaarde voldoet f ( a )=g ( a )=0 of f ( a )=± ∞ en g ( a )=± ∞ .

Bij deze voorwaardes geldt dan:

f (x) f '( a)
lim =lim
x→ a g(x ) x→ a g ' (a)


Modellen voor continue groei



Groeisnelheid en relatieve groeisnelheid

De groeisnelheid van een grootheid y is y’(t). De relatieve groeisnelheid is y’(t) gedeeld door de
y ' (t)
grootheid y:
y (t)
Exponentiële functies

y ( t ) =c er t

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper timodiederik. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 69066 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis
€2,99
  • (0)
In winkelwagen
Toegevoegd