Deze samenvatting bevat alle theorie die nodig is voor het tentamen 2DD80. Daarnaast bevat het document een voorbeeldopgave voor elk stuk theorie om je kennis te testen en te zien hoe de theorie wordt toegepast in een opgave
Probability density function:
For a continuous random variable X, a probability density function is a function such that
1. F ( x)≥0
∞
2. ∫ f ( x ) dx=1
−∞
b
3. P ( a ≤ X ≤ b )=∫ f ( x ) dx = area under f(x) from a to b for any a and b
a
If X is a continuous random variable, for any x1 and x2,
P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) =P ( x 1< X ≤ x 2 )=P ( x 1 ≤ X < x 2 )=P(x 1< X < x 2)
Example
−x
f ( x ) ¿ e for 0< x
∞
a. P ( 1< x )=∫ e−x dx=[−e−x ]=e−1 =0.2858
1
2.5
P ( 1< x<2.5 )=∫ e dx=[−e ]=e −e
−x −x −1 −2.5
b. =0.2037
1
4
P ( x< 4 )=∫ e dx=[−e ]=1−e =0.9817
−x −x −4
c.
0
x
P ( X < x )=0.10 →∫ e dx=[−e ]=1−e =0.10→ x=−ln ( 0.9 )=0.1054
−x −x −x
d.
0
4.2
The cumulative distribution function of a continuous random variable is
x
F ( x )=P ( X ≤ x ) =∫ f ( u ) du for−∞ < x <∞
−∞
Probability density function from the cumulative distribution function
dF (x )
Given F(x), f ( x )= as long as the derivative exists
dx
Example
{
0 x <0
F ( x )= 0.25 x 0 ≤ x< 5
1 5≤ x
a. P ( x<2.8 )=P( x ≤2.8) because X is a continuous random variable.
Then, P( X< 2.8)=F(2.8)=0.2(2.8)=0.56
b. P ( x>5 )=1−P ( x ≤ 1.5 )=1−0.2 ( 1.5 )=0.7
c. P ( X ←2 )=Fx (−2 )=0
, d. P ( x> 6 )=1−Fx ( 6 )=0
4.3
The mean or expected value of X, denoted as u or E(X) is
∞
μ= E ( X )= ∫ f ( u ) du for−∞ < x< ∞
−∞
The variance of X, denoted as V(X) or σ2 is
∞
σ =V ( X )= ∫ ¿ ¿
2
−∞
The standard deviation of X is σ =√ σ 2
Expected value of a function of a continuous random variable
E¿
Example
2
f ( x )=1.5 x for−1< x< 1
[ ]
1 4
x
a. E ( X ) =∫ 1.5 x dx= 1.5
3
=0
−1 4
1
b. V ( X )=∫ 1.5 x ¿ ¿
3
−1
4.4
Continuous uniform distribution
A continuous random variable X with a probability density function
1
f ( x )= a≤x ≤b
( b−a )
Is a continuous uniform random variable
Mean and variance
If X is a continuous uniform random variable over a ≤ x ≤ b
a+b 2
μ= E ( X )= ∧σ =V ( X )=¿ ¿
2
Example
Uniform distribution over the interval [-1,1]
−1+1
a. E ( X ) =
2
V ( X )=¿ ¿
σ =0,577
x
1
b. P (−x< X < x )=0.90 → ∫ dt= [ 0,5 t ] =0.5 ( 2 x ) =x
−x 2
, {
0 x←1
c. Cumulative distribution function: F ( x ) = 0.5 x+ 5−1 ≤ x <1
1 1≤ x
4.5
Normal distribution
A random variable X with probability density function
1
f ( x )= e−¿¿¿
√2 π σ
Is a normal random variable with parameters μ where−∞< μ< ∞∧σ >0
Also, E ( X ) =μ∧V ( X ) =σ 2
And the notation N( μ , σ 2) is used to denote the distribution
Standard normal random variable
A normal random variable with μ=0 and σ2=1 is called a standard normal random variable and is
denoted as Z.
The cumulative distribution function of a standard random variable is denoted as
Ф ( z )=P(Z ≤ z)
Standardizing a normal random variable
If X is a normal variable with E(X)=μ and V(X)=σ 2, the random variable
X−μ
Z= is a normal random variable with E(Z)=0 and V(Z)=1.
σ
That is, Z is a standard normal random variable
Standardizing to calculate a probability
Suppose that X is a normal random variable with mean μ and variance σ 2. Then,
P ( X ≤ x )=P ( X−μ
σ
≤
σ )
x−μ
=P (Z ≤ z ) where Z is a standard normal random variable, and
x−μ
z= is the z-value obtained by standardizing X.
σ
x−μ
The probability is obtained by using Appendix table III with z=
σ
Example
X is normally distributed with a mean of 10 and a standard deviation of 2
a) P(X < 13) = P(Z < (13-10)/2) = P(Z < 1.5) = 0.93319
b) P(X > 9) = 1 - P(X < 9) = 1 - P(Z < (9-10)/2) = 1 - P(Z < -0.5) = 0.69146
c) P(6 < X < 14) = = P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) -P(Z < - 2)]= 0.9545
, If X is a binomial random variable with parameters n and p,
X−np
Z= is approximately a standard normal random variable.
√np (1− p)
To approximate a binomial probability with a normal distribution, a continuity correction is applied
as follows:
(
P ( X ≤ x )=P ( X ≤ x+ 0.5 ) ≈ P Z ≤
x+ 0.5−np
√ np ( 1− p ) )
And
P ( x ≤ X )=P( x−0.5 ≤ X) ≈ P
(
x−0.5−np
√ np ( 1− p )
≤Z
)
The approximation is good for np> 5∧n (1− p)> 5
Normal approximation to the Poisson distribution
If X is a Poisson random variable with E(X)=λ and V(X)=λ,
X−λ
Z= is approximately a standard normal random variable.
√λ
The same continuity correction used for the binomial distribution can also be applied.
The approximation is good for λ>5
Example
X is a binomial random variable with n=200 and p=0.4
a) E(X) = 200(0.4) = 80, V(X) = 200(0.4)(0.6) = 48 and σ X =√ 48
Exponential distribution
The random variable X that equals the distance between successive events from Poisson process with
mean number of events λ>0 per unit interval is an exponential random variable with parameter λ.
The probability density function of X is,
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper juditheikelenboom. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
