Sumario Notas sobre la definicion de la transformada de Laplace segun Zill

Notas de Transformada de funciones
Definiendo la transformada de Laplace según Zill
Perez Gomez Leonardo J.

Según Zill, en algún punto del proceso de aprendizaje del cálculo elemental, se define que la
derivación en integración es una transformada, por ende, transformaciones de una función.
Para comprender esto se establece de ejemplo el caso de una función simple, sea 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 ,
si a esta función se deriva o integra, entonces se tiene una función totalmente diferente por
lo que se dice que se tiene una transformada.
𝑑 2 𝑥3
𝑥 = 2𝑥 ; ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = +𝐶
𝑑𝑥 3
Al analizar con mayor detalle ambas propuestas, sumado a una revisión a profundidad del
concepto de derivada e integral se puede apreciar ambas transformadas poseen propiedades
de linealidad, lo que se ve reflejado en el argumento dado por Zill, en el que “la transformada
de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de transformadas”. Esto
se muestra en el siguiente ejemplo donde 𝛼 y 𝛽 son constantes:
𝑑
a. [𝛼𝑓(𝑥 ) + 𝛽𝑓 (𝑥 )] = 𝛼𝑓 ′ (𝑥 ) + 𝛽𝑔′ (𝑥 )
𝑑𝑥
b. ∫ [𝛼𝑓 (𝑥 ) + 𝛽𝑓 (𝑥 )]𝑑𝑥 = 𝛼∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 + 𝛽∫ 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥

La transformada de Laplace
Para poder dar forma a la transformada de Laplace, es necesario tener claro la idea de que es
propiamente una transformada y la percepción de la propiedad de linealidad. Esto es debido
a que la transformada de Laplace nace del desarrollo de la idea de la transformada integral,
donde téngase una función multivariable 𝑓 (𝑥, 𝑦), al momento de ser integrada respecto de
alguna de las dos variables, da por resultado una función correspondiente a la otra variable.
Sea el caso del siguiente ejemplo para la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 2 , donde si se integra
respecto de 𝑥 en [1,2]:
2
∫ 2𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 = 3𝑦 2
1
∞
Por lo tanto ∫0 𝐾 (𝑠, 𝑡) 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 da como resultado una función 𝑓 de variable t
∞ 𝑏
∴ ∫ 𝐾(𝑠, 𝑡) 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = lim ∫ 𝐾(𝑠, 𝑡)𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
0 𝑏→∞ 0
Siguiendo con esta idea, es que podemos expresar finalmente la transformada de Laplace,
donde la función 𝐾(𝑠, 𝑡) se le da el nombre de núcleo o kernel de la transformada. Si
𝐾(𝑠, 𝑡) = 𝑒 −𝑠𝑡 para 𝑡 ≥ 0
∞
Definición de la
ℒ{𝑓 (𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡
0 transformada de Laplace
Por lo que si 𝑓 es convergente, entonces se tiene un resultado valido y existe una
transformación
ℒ{𝑓 (𝑡)} = 𝐹(𝑠); ℒ {𝑔(𝑡)} = 𝐺 (𝑠); ℒ {𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠)